Precálculo Ejemplos

$f (x) = \ln (x^{2} + 2 x - 3)$

Paso 1

Establece el argumento en $\ln (x^{2} + 2 x - 3)$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x^{2} + 2 x - 3 > 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} + 2 x - 3 = 0$

Paso 2.2

Factoriza $x^{2} + 2 x - 3$ con el método AC.

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Paso 2.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $2$ .

$- 1, 3$

Paso 2.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 1) (x + 3) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 2.4

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 2.5

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 1) (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = 1, - 3$

Paso 2.7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 3$

$- 3 < x < 1$

$x > 1$

Paso 2.8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 2.8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 2.8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

${(- 6)}^{2} + 2 (- 6) - 3 > 0$

Paso 2.8.1.3

$21$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 2.8.2

Prueba un valor en el intervalo $- 3 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.8.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 3 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 2.8.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

${(0)}^{2} + 2 (0) - 3 > 0$

Paso 2.8.2.3

$- 3$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 2.8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 2.8.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

${(4)}^{2} + 2 (4) - 3 > 0$

Paso 2.8.3.3

$21$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 2.8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 3$ Verdadero

$- 3 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadero

$x < - 3$ Verdadero

$- 3 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadero

Paso 2.9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 3$ o $x > 1$

Paso 3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 3) \cup (1, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x < - 3, x > 1}$

Paso 4