Precálculo Ejemplos

$\sec (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}}))$

Paso 1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}})}^{2}}, \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}})}^{2}}, 0)$ y el origen. Entonces $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}})$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}})}^{2}}, \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}})$ . Por lo tanto, $\sec (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}}))$ es $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}})}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}})}^{2}}}$

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}})}^{2}}}$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}}) (1 - \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}})}}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{\sqrt{(\frac{\sqrt{x^{2} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 4}} + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}}) (1 - \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}})}}$

Paso 2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{x^{2} + 4} + x}{\sqrt{x^{2} + 4}} (1 - \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}})}}$

Paso 2.3.3

Multiplica $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ por $\frac{\sqrt{x^{2} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{x^{2} + 4} + x}{\sqrt{x^{2} + 4}} (1 - (\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 4}}))}}$

Paso 2.3.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.3.4.1

Multiplica $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ por $\frac{\sqrt{x^{2} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{x^{2} + 4} + x}{\sqrt{x^{2} + 4}} (1 - \frac{x \sqrt{x^{2} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 4} \sqrt{x^{2} + 4}})}}$

Paso 2.3.4.2

Eleva $\sqrt{x^{2} + 4}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{x^{2} + 4} + x}{\sqrt{x^{2} + 4}} (1 - \frac{x \sqrt{x^{2} + 4}}{{\sqrt{x^{2} + 4}}^{1} \sqrt{x^{2} + 4}})}}$

Paso 2.3.4.3

Eleva $\sqrt{x^{2} + 4}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{x^{2} + 4} + x}{\sqrt{x^{2} + 4}} (1 - \frac{x \sqrt{x^{2} + 4}}{{\sqrt{x^{2} + 4}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 4}}^{1}})}}$

Paso 2.3.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{x^{2} + 4} + x}{\sqrt{x^{2} + 4}} (1 - \frac{x \sqrt{x^{2} + 4}}{{\sqrt{x^{2} + 4}}^{1 + 1}})}}$

Paso 2.3.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{x^{2} + 4} + x}{\sqrt{x^{2} + 4}} (1 - \frac{x \sqrt{x^{2} + 4}}{{\sqrt{x^{2} + 4}}^{2}})}}$

Paso 2.3.4.6

Reescribe ${\sqrt{x^{2} + 4}}^{2}$ como $x^{2} + 4$ .

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Paso 2.3.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 4}$ como ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{x^{2} + 4} + x}{\sqrt{x^{2} + 4}} (1 - \frac{x \sqrt{x^{2} + 4}}{{({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}}$

Paso 2.3.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{x^{2} + 4} + x}{\sqrt{x^{2} + 4}} (1 - \frac{x \sqrt{x^{2} + 4}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}}$

Paso 2.3.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{x^{2} + 4} + x}{\sqrt{x^{2} + 4}} (1 - \frac{x \sqrt{x^{2} + 4}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}}})}}$

Paso 2.3.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{x^{2} + 4} + x}{\sqrt{x^{2} + 4}} (1 - \frac{x \sqrt{x^{2} + 4}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}}})}}$

Paso 2.3.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{x^{2} + 4} + x}{\sqrt{x^{2} + 4}} (1 - \frac{x \sqrt{x^{2} + 4}}{{(x^{2} + 4)}^{1}})}}$

Paso 2.3.4.6.5

Simplifica.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{x^{2} + 4} + x}{\sqrt{x^{2} + 4}} (1 - \frac{x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4})}}$

Paso 2.3.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{x^{2} + 4} + x}{\sqrt{x^{2} + 4}} (\frac{x^{2} + 4}{x^{2} + 4} - \frac{x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4})}}$

Paso 2.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{x^{2} + 4} + x}{\sqrt{x^{2} + 4}} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Paso 2.4

Multiplica $\frac{\sqrt{x^{2} + 4} + x}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ por $\frac{\sqrt{x^{2} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{x^{2} + 4} + x}{\sqrt{x^{2} + 4}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 4}} \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Paso 2.5

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.5.1

Multiplica $\frac{\sqrt{x^{2} + 4} + x}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ por $\frac{\sqrt{x^{2} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(\sqrt{x^{2} + 4} + x) \sqrt{x^{2} + 4}}{\sqrt{x^{2} + 4} \sqrt{x^{2} + 4}} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Paso 2.5.2

Eleva $\sqrt{x^{2} + 4}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(\sqrt{x^{2} + 4} + x) \sqrt{x^{2} + 4}}{{\sqrt{x^{2} + 4}}^{1} \sqrt{x^{2} + 4}} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Paso 2.5.3

Eleva $\sqrt{x^{2} + 4}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(\sqrt{x^{2} + 4} + x) \sqrt{x^{2} + 4}}{{\sqrt{x^{2} + 4}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 4}}^{1}} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Paso 2.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(\sqrt{x^{2} + 4} + x) \sqrt{x^{2} + 4}}{{\sqrt{x^{2} + 4}}^{1 + 1}} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Paso 2.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(\sqrt{x^{2} + 4} + x) \sqrt{x^{2} + 4}}{{\sqrt{x^{2} + 4}}^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Paso 2.5.6

Reescribe ${\sqrt{x^{2} + 4}}^{2}$ como $x^{2} + 4$ .

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Paso 2.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 4}$ como ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(\sqrt{x^{2} + 4} + x) \sqrt{x^{2} + 4}}{{({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Paso 2.5.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(\sqrt{x^{2} + 4} + x) \sqrt{x^{2} + 4}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Paso 2.5.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(\sqrt{x^{2} + 4} + x) \sqrt{x^{2} + 4}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Paso 2.5.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.5.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(\sqrt{x^{2} + 4} + x) \sqrt{x^{2} + 4}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Paso 2.5.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(\sqrt{x^{2} + 4} + x) \sqrt{x^{2} + 4}}{{(x^{2} + 4)}^{1}} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Paso 2.5.6.5

Simplifica.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(\sqrt{x^{2} + 4} + x) \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Paso 2.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{x^{2} + 4} \sqrt{x^{2} + 4} + x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Paso 2.7

Multiplica $\sqrt{x^{2} + 4} \sqrt{x^{2} + 4}$ .

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Paso 2.7.1

Eleva $\sqrt{x^{2} + 4}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{{\sqrt{x^{2} + 4}}^{1} \sqrt{x^{2} + 4} + x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Paso 2.7.2

Eleva $\sqrt{x^{2} + 4}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{{\sqrt{x^{2} + 4}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 4}}^{1} + x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Paso 2.7.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{{\sqrt{x^{2} + 4}}^{1 + 1} + x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Paso 2.7.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{{\sqrt{x^{2} + 4}}^{2} + x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Paso 2.8

Reescribe ${\sqrt{x^{2} + 4}}^{2}$ como $x^{2} + 4$ .

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Paso 2.8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 4}$ como ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{{({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Paso 2.8.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Paso 2.8.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}} + x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Paso 2.8.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.8.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}} + x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Paso 2.8.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{{(x^{2} + 4)}^{1} + x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Paso 2.8.5

Simplifica.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}}}$

Paso 2.9

Multiplica $\frac{x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}$ por $\frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}{(x^{2} + 4) (x^{2} + 4)}}}$

Paso 2.10

Simplifica el denominador.

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Paso 2.10.1

Eleva $x^{2} + 4$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}{{(x^{2} + 4)}^{1} (x^{2} + 4)}}}$

Paso 2.10.2

Eleva $x^{2} + 4$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}{{(x^{2} + 4)}^{1} {(x^{2} + 4)}^{1}}}}$

Paso 2.10.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}{{(x^{2} + 4)}^{1 + 1}}}}$

Paso 2.10.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}}}$

Paso 2.11

Reescribe $\frac{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ como ${(\frac{1}{x^{2} + 4})}^{2} ((x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}))$ .

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Paso 2.11.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1^{2} ((x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}))}{{(x^{2} + 4)}^{2}}}}$

Paso 2.11.2

Factoriza la potencia perfecta ${(x^{2} + 4)}^{2}$ de ${(x^{2} + 4)}^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1^{2} ((x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}))}{{(x^{2} + 4)}^{2} \cdot 1}}}$

Paso 2.11.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} ((x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}))}{{(x^{2} + 4)}^{2} \cdot 1}$ .

$\frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{x^{2} + 4})}^{2} ((x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}))}}$

Paso 2.12

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{1}{\frac{1}{x^{2} + 4} \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}$

Paso 2.13

Combina $\frac{1}{x^{2} + 4}$ y $\sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}{x^{2} + 4}}$

Paso 3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 \frac{x^{2} + 4}{\sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}$

Paso 4

Multiplica $\frac{x^{2} + 4}{\sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 4}{\sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}$

Paso 5

Multiplica $\frac{x^{2} + 4}{\sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}$ por $\frac{\sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}{\sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}$ .

$\frac{x^{2} + 4}{\sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}} \cdot \frac{\sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}{\sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}$

Paso 6

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.1

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}{\sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})} \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}$

Paso 6.2

Eleva $\sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}{{\sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}^{1} \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}$

Paso 6.3

Eleva $\sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}{{\sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}^{1} {\sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}^{1}}$

Paso 6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}{{\sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}^{1 + 1}}$

Paso 6.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}{{\sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}^{2}}$

Paso 6.6

Reescribe ${\sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}^{2}$ como $(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})$ .

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Paso 6.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}$ como ${((x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}{{({((x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 6.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}{{((x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 6.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}{{((x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}))}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}{{((x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}))}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 6.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}{{((x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}))}^{1}}$

Paso 6.6.5

Simplifica.

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}$

Paso 7

Multiplica $\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}$ por $\frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}$ .

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})} \cdot \frac{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}{x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}}$

Paso 8

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})} (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}$

Paso 9

Reordena.

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Paso 9.1

Mueve $x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}$ .

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})} (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}{(x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}) ((x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}))}$

Paso 9.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})} (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}{(x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{4} + x^{2} \cdot 4 + x^{3} (- \sqrt{x^{2} + 4}) + 4 x^{2} + 16 - 4 (x \sqrt{x^{2} + 4}) + x^{3} \sqrt{x^{2} + 4} + x \sqrt{x^{2} + 4} \cdot 4 + x^{2} (- {\sqrt{x^{2} + 4}}^{2}))}$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Resta $x^{4}$ de $x^{4}$ .

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})} (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}{(x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}) (4 x^{2} + 4 x^{2} + 16 + 0 - 4 x^{2})}$

Paso 9.3.2

Suma $4 x^{2} + 4 x^{2} + 16$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})} (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}{(x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}) (4 x^{2} + 4 x^{2} + 16 - 4 x^{2})}$

Paso 9.3.3

Resta $4 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})} (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}{(x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}) (4 x^{2} + 16 + 0)}$

Paso 9.3.4

Suma $4 x^{2} + 16$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})} (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}{(x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}) (4 x^{2} + 16)}$

Paso 10

Cancela el factor común de $x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}$ .

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Paso 10.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})} (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}{(x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4}) (4 x^{2} + 16)}$

Paso 10.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}{4 x^{2} + 16}$

Paso 11

Factoriza $4$ de $4 x^{2} + 16$ .

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Paso 11.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}{4 (x^{2}) + 16}$

Paso 11.2

Factoriza $4$ de $16$ .

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}{4 x^{2} + 4 \cdot 4}$

Paso 11.3

Factoriza $4$ de $4 x^{2} + 4 \cdot 4$ .

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}{4 (x^{2} + 4)}$

Paso 12

Cancela el factor común de $x^{2} + 4$ .

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Paso 12.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x^{2} + 4) \sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}{4 (x^{2} + 4)}$

Paso 12.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{(x^{2} + 4 + x \sqrt{x^{2} + 4}) (x^{2} + 4 - x \sqrt{x^{2} + 4})}}{4}$