Precálculo Ejemplos

$\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}})}^{2}}$

Paso 1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{1^{2} - x^{2}}})}^{2}}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}})}^{2}}$

Paso 2

Multiplica $\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ por $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}})}^{2}}$

Paso 3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ por $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}})}^{2}}$

Paso 3.2

Eleva $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}})}^{2}}$

Paso 3.3

Eleva $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}})}^{2}}$

Paso 3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}})}^{2}}$

Paso 3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}})}^{2}}$

Paso 3.6

Reescribe ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ como $(1 + x) (1 - x)$ .

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Paso 3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ como ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}}$

Paso 3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}}$

Paso 3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

Paso 3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

Paso 3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{1}})}^{2}}$

Paso 3.6.5

Simplifica.

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)})}^{2}}$

Paso 4

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.1

Aplica la regla del producto a $\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$ .

$\sqrt{1 + \frac{{(x \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}^{2}}{{((1 + x) (1 - x))}^{2}}}$

Paso 4.2

Aplica la regla del producto a $x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}{{((1 + x) (1 - x))}^{2}}}$

Paso 4.3

Aplica la regla del producto a $(1 + x) (1 - x)$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Reescribe ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ como $(1 + x) (1 - x)$ .

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Paso 5.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ como ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} {({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Paso 5.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Paso 5.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Paso 5.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.1.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Paso 5.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} {((1 + x) (1 - x))}^{1}}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Paso 5.1.5

Simplifica.

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} ((1 + x) (1 - x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Paso 5.2

Expande $(1 + x) (1 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 (1 - x) + x (1 - x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Paso 5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Paso 5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Paso 5.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Paso 5.3.1.2

Multiplica $- x$ por $1$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 - x + x \cdot 1 + x (- x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Paso 5.3.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 - x + x + x (- x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Paso 5.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 - x + x - x \cdot x)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Paso 5.3.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.1.5.1

Mueve $x$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 - x + x - (x \cdot x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Paso 5.3.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 - x + x - x^{2})}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Paso 5.3.2

Suma $- x$ y $x$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 + 0 - x^{2})}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Paso 5.3.3

Suma $1$ y $0$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 - x^{2})}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Paso 5.4

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1^{2} - x^{2})}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Paso 5.5

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 + x) (1 - x)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $1 + x$ y ${(1 + x)}^{2}$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $1 + x$ de $x^{2} (1 + x) (1 - x)$ .

$\sqrt{1 + \frac{(1 + x) (x^{2} (1 - x))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}}$

Paso 6.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1.2.1

Factoriza $1 + x$ de ${(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}$ .

$\sqrt{1 + \frac{(1 + x) (x^{2} (1 - x))}{(1 + x) ((1 + x) {(1 - x)}^{2})}}$

Paso 6.1.2.2

Cancela el factor común.

$\sqrt{1 + \frac{(1 + x) (x^{2} (1 - x))}{(1 + x) ((1 + x) {(1 - x)}^{2})}}$

Paso 6.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} (1 - x)}{(1 + x) {(1 - x)}^{2}}}$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $1 - x$ y ${(1 - x)}^{2}$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $1 - x$ de $x^{2} (1 - x)$ .

$\sqrt{1 + \frac{(1 - x) x^{2}}{(1 + x) {(1 - x)}^{2}}}$

Paso 6.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.2.1

Factoriza $1 - x$ de $(1 + x) {(1 - x)}^{2}$ .

$\sqrt{1 + \frac{(1 - x) x^{2}}{(1 - x) ((1 + x) (1 - x))}}$

Paso 6.2.2.2

Cancela el factor común.

$\sqrt{1 + \frac{(1 - x) x^{2}}{(1 - x) ((1 + x) (1 - x))}}$

Paso 6.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Paso 6.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\sqrt{\frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Paso 6.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{(1 + x) (1 - x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Expande $(1 + x) (1 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 7.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{\frac{1 (1 - x) + x (1 - x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Paso 7.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{\frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Paso 7.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{\frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Paso 7.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\sqrt{\frac{1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $- x$ por $1$ .

$\sqrt{\frac{1 - x + x \cdot 1 + x (- x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$\sqrt{\frac{1 - x + x + x (- x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Paso 7.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\sqrt{\frac{1 - x + x - x \cdot x + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Paso 7.2.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 7.2.1.5.1

Mueve $x$ .

$\sqrt{\frac{1 - x + x - (x \cdot x) + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Paso 7.2.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\sqrt{\frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Paso 7.2.2

Suma $- x$ y $x$ .

$\sqrt{\frac{1 + 0 - x^{2} + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Paso 7.2.3

Suma $1$ y $0$ .

$\sqrt{\frac{1 - x^{2} + x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Paso 7.3

Suma $- x^{2}$ y $x^{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + 0}{(1 + x) (1 - x)}}$

Paso 7.4

Suma $1$ y $0$ .

$\sqrt{\frac{1}{(1 + x) (1 - x)}}$

Paso 8

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{(1 + x) (1 - x)}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Paso 9

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Paso 10

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ por $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Paso 11

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 11.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ por $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Paso 11.2

Eleva $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Paso 11.3

Eleva $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}}$

Paso 11.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}}$

Paso 11.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}$

Paso 11.6

Reescribe ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ como $(1 + x) (1 - x)$ .

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Paso 11.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ como ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 11.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 11.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 11.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 11.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{1}}$

Paso 11.6.5

Simplifica.

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$