Precálculo Ejemplos

$\frac{1 + 2 \sqrt{3 i}}{1 + \sqrt{3 i}}$

Paso 1

Multiplica $\frac{1 + 2 \sqrt{3 i}}{1 + \sqrt{3 i}}$ por $\frac{1 - \sqrt{3 i}}{1 - \sqrt{3 i}}$ .

$\frac{1 + 2 \sqrt{3 i}}{1 + \sqrt{3 i}} \cdot \frac{1 - \sqrt{3 i}}{1 - \sqrt{3 i}}$

Paso 2

Combina fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{1 + 2 \sqrt{3 i}}{1 + \sqrt{3 i}}$ por $\frac{1 - \sqrt{3 i}}{1 - \sqrt{3 i}}$ .

$\frac{(1 + 2 \sqrt{3 i}) (1 - \sqrt{3 i})}{(1 + \sqrt{3 i}) (1 - \sqrt{3 i})}$

Paso 2.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(1 + 2 \sqrt{3 i}) (1 - \sqrt{3 i})}{1 - \sqrt{3 i} + \sqrt{3 i} - {\sqrt{3 i}}^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

$\frac{(1 + 2 \sqrt{3 i}) (1 - \sqrt{3 i})}{1 - 3 i}$

Paso 3

Expande $(1 + 2 \sqrt{3 i}) (1 - \sqrt{3 i})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 (1 - \sqrt{3 i}) + 2 \sqrt{3 i} (1 - \sqrt{3 i})}{1 - 3 i}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3 i}) + 2 \sqrt{3 i} (1 - \sqrt{3 i})}{1 - 3 i}$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3 i}) + 2 \sqrt{3 i} \cdot 1 + 2 \sqrt{3 i} (- \sqrt{3 i})}{1 - 3 i}$

Paso 4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{1 + 1 (- \sqrt{3 i}) + 2 \sqrt{3 i} \cdot 1 + 2 \sqrt{3 i} (- \sqrt{3 i})}{1 - 3 i}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- \sqrt{3 i}$ por $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3 i} + 2 \sqrt{3 i} \cdot 1 + 2 \sqrt{3 i} (- \sqrt{3 i})}{1 - 3 i}$

Paso 4.1.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3 i} + 2 \sqrt{3 i} + 2 \sqrt{3 i} (- \sqrt{3 i})}{1 - 3 i}$

Paso 4.1.4

Multiplica $2 \sqrt{3 i} (- \sqrt{3 i})$ .

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Paso 4.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1 - \sqrt{3 i} + 2 \sqrt{3 i} - 2 \sqrt{3 i} \sqrt{3 i}}{1 - 3 i}$

Paso 4.1.4.2

Eleva $\sqrt{3 i}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3 i} + 2 \sqrt{3 i} - 2 ({\sqrt{3 i}}^{1} \sqrt{3 i})}{1 - 3 i}$

Paso 4.1.4.3

Eleva $\sqrt{3 i}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3 i} + 2 \sqrt{3 i} - 2 ({\sqrt{3 i}}^{1} {\sqrt{3 i}}^{1})}{1 - 3 i}$

Paso 4.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1 - \sqrt{3 i} + 2 \sqrt{3 i} - 2 {\sqrt{3 i}}^{1 + 1}}{1 - 3 i}$

Paso 4.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3 i} + 2 \sqrt{3 i} - 2 {\sqrt{3 i}}^{2}}{1 - 3 i}$

Paso 4.1.5

Reescribe ${\sqrt{3 i}}^{2}$ como $3 i$ .

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Paso 4.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 i}$ como ${(3 i)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 - \sqrt{3 i} + 2 \sqrt{3 i} - 2 {({(3 i)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{1 - 3 i}$

Paso 4.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1 - \sqrt{3 i} + 2 \sqrt{3 i} - 2 {(3 i)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{1 - 3 i}$

Paso 4.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{1 - \sqrt{3 i} + 2 \sqrt{3 i} - 2 {(3 i)}^{\frac{2}{2}}}{1 - 3 i}$

Paso 4.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 - \sqrt{3 i} + 2 \sqrt{3 i} - 2 {(3 i)}^{\frac{2}{2}}}{1 - 3 i}$

Paso 4.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 - \sqrt{3 i} + 2 \sqrt{3 i} - 2 {(3 i)}^{1}}{1 - 3 i}$

Paso 4.1.5.5

Simplifica.

$\frac{1 - \sqrt{3 i} + 2 \sqrt{3 i} - 2 (3 i)}{1 - 3 i}$

Paso 4.1.6

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\frac{1 - \sqrt{3 i} + 2 \sqrt{3 i} - 6 i}{1 - 3 i}$

Paso 4.2

Suma $- \sqrt{3 i}$ y $2 \sqrt{3 i}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3 i} - 6 i}{1 - 3 i}$