Precálculo Ejemplos

${(- 1 + \sqrt{3} i)}^{3}$

Paso 1

Usa el teorema del binomio.

${(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} (\sqrt{3} i) + 3 \cdot - 1 {(\sqrt{3} i)}^{2} + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- 1 + 3 {(- 1)}^{2} (\sqrt{3} i) + 3 \cdot - 1 {(\sqrt{3} i)}^{2} + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Paso 2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 1 + 3 \cdot 1 (\sqrt{3} i) + 3 \cdot - 1 {(\sqrt{3} i)}^{2} + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Paso 2.1.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$- 1 + 3 (\sqrt{3} i) + 3 \cdot - 1 {(\sqrt{3} i)}^{2} + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Paso 2.1.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 {(\sqrt{3} i)}^{2} + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Paso 2.1.5

Aplica la regla del producto a $\sqrt{3} i$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2}) + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Paso 2.1.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 2.1.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 ({(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}) + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Paso 2.1.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 (3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}) + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Paso 2.1.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 (3^{\frac{2}{2}} i^{2}) + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Paso 2.1.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.6.4.1

Cancela el factor común.

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 (3^{\frac{2}{2}} i^{2}) + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Paso 2.1.6.4.2

Reescribe la expresión.

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 (3^{1} i^{2}) + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Paso 2.1.6.5

Evalúa el exponente.

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 (3 i^{2}) + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Paso 2.1.7

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 (3 \cdot - 1) + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Paso 2.1.8

Multiplica $- 3 (3 \cdot - 1)$ .

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Paso 2.1.8.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i - 3 \cdot - 3 + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Paso 2.1.8.2

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + {(\sqrt{3} i)}^{3}$

Paso 2.1.9

Aplica la regla del producto a $\sqrt{3} i$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + {\sqrt{3}}^{3} i^{3}$

Paso 2.1.10

Reescribe ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + \sqrt{3^{3}} i^{3}$

Paso 2.1.11

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + \sqrt{27} i^{3}$

Paso 2.1.12

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.1.12.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + \sqrt{9 (3)} i^{3}$

Paso 2.1.12.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + \sqrt{3^{2} \cdot 3} i^{3}$

Paso 2.1.13

Retira los términos de abajo del radical.

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + 3 \sqrt{3} i^{3}$

Paso 2.1.14

Factoriza $i^{2}$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + 3 \sqrt{3} (i^{2} \cdot i)$

Paso 2.1.15

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + 3 \sqrt{3} (- 1 \cdot i)$

Paso 2.1.16

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 + 3 \sqrt{3} (- i)$

Paso 2.1.17

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3} i + 9 - 3 \sqrt{3} i$

Paso 2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.1

Suma $- 1$ y $9$ .

$3 \sqrt{3} i + 8 - 3 \sqrt{3} i$

Paso 2.2.2

Resta $3 \sqrt{3} i$ de $3 \sqrt{3} i$ .

$0 + 8$

Paso 2.2.3

Suma $0$ y $8$ .

$8$