Precálculo Ejemplos

$\frac{7}{y + 1} > 7$

Paso 1

Resta $7$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{7}{y + 1} - 7 > 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{7}{y + 1} - 7$ .

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Paso 2.1

Para escribir $- 7$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{7}{y + 1} - 7 \cdot \frac{y + 1}{y + 1} > 0$

Paso 2.2

Combina $- 7$ y $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{7}{y + 1} + \frac{- 7 (y + 1)}{y + 1} > 0$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{7 - 7 (y + 1)}{y + 1} > 0$

Paso 2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.1

Factoriza $7$ de $7 - 7 (y + 1)$ .

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Paso 2.4.1.1

Factoriza $7$ de $7$ .

$\frac{7 (1) - 7 (y + 1)}{y + 1} > 0$

Paso 2.4.1.2

Factoriza $7$ de $- 7 (y + 1)$ .

$\frac{7 (1) + 7 (- (y + 1))}{y + 1} > 0$

Paso 2.4.1.3

Factoriza $7$ de $7 (1) + 7 (- (y + 1))$ .

$\frac{7 (1 - (y + 1))}{y + 1} > 0$

Paso 2.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{7 (1 - y - 1 \cdot 1)}{y + 1} > 0$

Paso 2.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{7 (1 - y - 1)}{y + 1} > 0$

Paso 2.4.4

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{7 (- y + 0)}{y + 1} > 0$

Paso 2.4.5

Suma $- y$ y $0$ .

$\frac{7 \cdot - 1 y}{y + 1} > 0$

Paso 2.4.6

Combina exponentes.

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Paso 2.4.6.1

Factoriza el negativo.

$\frac{- (7 y)}{y + 1} > 0$

Paso 2.4.6.2

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$\frac{- 7 y}{y + 1} > 0$

Paso 2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{7 y}{y + 1} > 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$- 7 y = 0$

$y + 1 = 0$

Paso 4

Divide cada término en $- 7 y = 0$ por $- 7$ y simplifica.

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Paso 4.1

Divide cada término en $- 7 y = 0$ por $- 7$ .

$\frac{- 7 y}{- 7} = \frac{0}{- 7}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $- 7$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 7 y}{- 7} = \frac{0}{- 7}$

Paso 4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{0}{- 7}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Divide $0$ por $- 7$ .

$y = 0$

Paso 5

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - 1$

Paso 6

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$y = 0$

$y = - 1$

Paso 7

Consolida las soluciones.

$y = 0, - 1$

Paso 8

Obtén el dominio de $- \frac{7 y}{y + 1}$ .

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Paso 8.1

Establece el denominador en $\frac{7 y}{y + 1}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$y + 1 = 0$

Paso 8.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - 1$

Paso 8.3

El dominio son todos los valores de $y$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Paso 9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$y < - 1$

$- 1 < y < 0$

$y > 0$

Paso 10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 10.1

Prueba un valor en el intervalo $y < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.1.1

Elije un valor en el intervalo $y < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$y = - 4$

Paso 10.1.2

Reemplaza $y$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\frac{7}{(- 4) + 1} > 7$

Paso 10.1.3

$- 2.\overline{3}$ del lado izquierdo no es mayor que $7$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 10.2

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < y < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < y < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$y = - 0.5$

Paso 10.2.2

Reemplaza $y$ con $- 0.5$ en la desigualdad original.

$\frac{7}{(- 0.5) + 1} > 7$

Paso 10.2.3

$14$ del lado izquierdo es mayor que $7$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 10.3

Prueba un valor en el intervalo $y > 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.3.1

Elije un valor en el intervalo $y > 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$y = 2$

Paso 10.3.2

Reemplaza $y$ con $2$ en la desigualdad original.

$\frac{7}{(2) + 1} > 7$

Paso 10.3.3

$2.\overline{3}$ del lado izquierdo no es mayor que $7$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 10.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$y < - 1$ Falso

$- 1 < y < 0$ Verdadero

$y > 0$ Falso

$y < - 1$ Falso

$- 1 < y < 0$ Verdadero

$y > 0$ Falso

Paso 11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 1 < y < 0$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- 1 < y < 0$

Notación de intervalo:

$(- 1, 0)$

Paso 13