Precálculo Ejemplos

$\sin (\frac{2 π}{3} + \frac{3 π}{4})$

Paso 1

Para escribir $\frac{2 π}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\sin (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{3 π}{4})$

Paso 2

Para escribir $\frac{3 π}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\sin (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Paso 3

Escribe cada expresión con un denominador común de $12$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{2 π}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\sin (\frac{2 π \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Paso 3.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$\sin (\frac{2 π \cdot 4}{12} + \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Paso 3.3

Multiplica $\frac{3 π}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\sin (\frac{2 π \cdot 4}{12} + \frac{3 π \cdot 3}{4 \cdot 3})$

Paso 3.4

Multiplica $4$ por $3$ .

$\sin (\frac{2 π \cdot 4}{12} + \frac{3 π \cdot 3}{12})$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sin (\frac{2 π \cdot 4 + 3 π \cdot 3}{12})$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$\sin (\frac{8 π + 3 π \cdot 3}{12})$

Paso 5.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\sin (\frac{8 π + 9 π}{12})$

Paso 5.3

Suma $8 π$ y $9 π$ .

$\sin (\frac{17 π}{12})$

Paso 6

El valor exacto de $\sin (\frac{17 π}{12})$ es $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ .

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Paso 6.1

Reescribe $\frac{17 π}{12}$ como un ángulo donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas dividido por $2$ .

$\sin (\frac{\frac{17 π}{6}}{2})$

Paso 6.2

Aplica la razón del ángulo mitad del seno.

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{17 π}{6})}{2}}$

Paso 6.3

Cambia $\pm$ por $-$ porque el seno es negativo en el tercer cuadrante.

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{17 π}{6})}{2}}$

Paso 6.4

Simplifica $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{17 π}{6})}{2}}$ .

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Paso 6.4.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{6})}{2}}$

Paso 6.4.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$- \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{2}}$

Paso 6.4.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Paso 6.4.4

Multiplica $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 6.4.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Paso 6.4.4.2

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $1$ .

$- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Paso 6.4.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Paso 6.4.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}}$

Paso 6.4.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 6.4.8

Multiplica $\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 6.4.8.1

Multiplica $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 \cdot 2}}$

Paso 6.4.8.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$

Paso 6.4.9

Reescribe $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$

Paso 6.4.10

Simplifica el denominador.

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Paso 6.4.10.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 6.4.10.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$

Forma decimal:

$- 0.96592582 \dots$