Precálculo Ejemplos

$\cos (\frac{π}{3} + x) + \cos (\frac{π}{3} - x) = \cos (x)$

Paso 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\cos (\frac{π}{3} + x) + \cos (\frac{π}{3} - x)$

Paso 2

Aplica la suma de la razón de los ángulos $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\cos (\frac{π}{3}) \cos (x) - \sin (\frac{π}{3}) \sin (x) + \cos (\frac{π}{3} - x)$

Paso 3

Aplica la suma de la razón de los ángulos $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\cos (\frac{π}{3}) \cos (x) - \sin (\frac{π}{3}) \sin (x) + \cos (\frac{π}{3}) \cos (- x) - \sin (\frac{π}{3}) \sin (- x)$

Paso 4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cos (x) - \sin (\frac{π}{3}) \sin (x) + \cos (\frac{π}{3}) \cos (- x) - \sin (\frac{π}{3}) \sin (- x)$

Paso 4.1.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{2} - \sin (\frac{π}{3}) \sin (x) + \cos (\frac{π}{3}) \cos (- x) - \sin (\frac{π}{3}) \sin (- x)$

Paso 4.1.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (x) + \cos (\frac{π}{3}) \cos (- x) - \sin (\frac{π}{3}) \sin (- x)$

Paso 4.1.4

Combina $\sin (x)$ y $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{π}{3}) \cos (- x) - \sin (\frac{π}{3}) \sin (- x)$

Paso 4.1.5

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cos (- x) - \sin (\frac{π}{3}) \sin (- x)$

Paso 4.1.6

Como $\cos (- x)$ es una función par, reescribe $\cos (- x)$ como $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cos (x) - \sin (\frac{π}{3}) \sin (- x)$

Paso 4.1.7

Combina $\frac{1}{2}$ y $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - \sin (\frac{π}{3}) \sin (- x)$

Paso 4.1.8

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (- x)$

Paso 4.1.9

Como $\sin (- x)$ es una función impar, reescribe $\sin (- x)$ como $- \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} (- \sin (x))$

Paso 4.1.10

Multiplica $- \frac{\sqrt{3}}{2} (- \sin (x))$ .

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Paso 4.1.10.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} + 1 \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (x)$

Paso 4.1.10.2

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $1$ .

$\frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (x)$

Paso 4.1.10.3

Combina $\frac{\sqrt{3}}{2}$ y $\sin (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Paso 4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\cos (x) - \sin (x) \sqrt{3} + \cos (x) + \sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Paso 4.3

Combina los términos opuestos en $\cos (x) - \sin (x) \sqrt{3} + \cos (x) + \sqrt{3} \sin (x)$ .

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Paso 4.3.1

Reordena los factores en los términos $- \sin (x) \sqrt{3}$ y $\sqrt{3} \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) - \sqrt{3} \sin (x) + \cos (x) + \sqrt{3} \sin (x)}{2}$

Paso 4.3.2

Suma $- \sqrt{3} \sin (x)$ y $\sqrt{3} \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) + 0 + \cos (x)}{2}$

Paso 4.3.3

Suma $\cos (x)$ y $0$ .

$\frac{\cos (x) + \cos (x)}{2}$

Paso 4.4

Suma $\cos (x)$ y $\cos (x)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2}$

Paso 4.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos (x)}{2}$

Paso 4.5.2

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x)$

Paso 5

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\cos (\frac{π}{3} + x) + \cos (\frac{π}{3} - x) = \cos (x)$ es una identidad