Precálculo Ejemplos

$\ln (\frac{1}{\sqrt[3]{e^{2}}})$

Paso 1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{e^{2}}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}$ .

$\ln (\frac{1}{\sqrt[3]{e^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}})$

Paso 2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{e^{2}}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}$ .

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{e^{2}} {\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}})$

Paso 2.2

Eleva $\sqrt[3]{e^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}})$

Paso 2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{1 + 2}})$

Paso 2.4

Suma $1$ y $2$ .

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{3}})$

Paso 2.5

Reescribe ${\sqrt[3]{e^{2}}}^{3}$ como $e^{2}$ .

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Paso 2.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{e^{2}}$ como $e^{\frac{2}{3}}$ .

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{{(e^{\frac{2}{3}})}^{3}})$

Paso 2.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{e^{\frac{2}{3} \cdot 3}})$

Paso 2.5.3

Combina $\frac{2}{3}$ y $3$ .

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{e^{\frac{2 \cdot 3}{3}}})$

Paso 2.5.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{e^{\frac{6}{3}}})$

Paso 2.5.5

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 2.5.5.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{e^{\frac{3 \cdot 2}{3}}})$

Paso 2.5.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.5.5.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{e^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}})$

Paso 2.5.5.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{e^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}})$

Paso 2.5.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{e^{\frac{2}{1}}})$

Paso 2.5.5.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$\ln (\frac{{\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}}{e^{2}})$

Paso 3

Mueve $e^{2}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\ln ({\sqrt[3]{e^{2}}}^{2} e^{- 2})$

Paso 4

Reescribe $\ln ({\sqrt[3]{e^{2}}}^{2} e^{- 2})$ como $\ln ({\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}) + \ln (e^{- 2})$ .

$\ln ({\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}) + \ln (e^{- 2})$

Paso 5

Usa las reglas de logaritmos para mover $- 2$ fuera del exponente.

$\ln ({\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}) - 2 \ln (e)$

Paso 6

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\ln ({\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}) - 2 \cdot 1$

Paso 7

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\ln ({\sqrt[3]{e^{2}}}^{2}) - 2$

Paso 8

Expande $\ln ({\sqrt[3]{e^{2}}}^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$2 \ln (\sqrt[3]{e^{2}}) - 2$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$2 \ln (\sqrt[3]{e^{2}}) - 2$

Forma decimal:

$- 0.\overline{6}$