Precálculo Ejemplos

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} - 1}{x^{6} - 1}$

Paso 1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} - lim_{x \to 1} 1}{x^{6} - 1}$

Paso 1.2

Mueve el exponente $4$ de $x^{4}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - lim_{x \to 1} 1}{x^{6} - 1}$

Paso 1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 1 \cdot 1}{x^{6} - 1}$

Paso 2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1^{4} - 1 \cdot 1}{x^{6} - 1}$

Paso 3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{x^{6} - 1}$

Paso 3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{x^{6} - 1}$

Paso 3.1.3

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{x^{6} - 1}$

Paso 3.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.2.1

Reescribe $x^{6}$ como ${(x^{2})}^{3}$ .

$\frac{0}{{(x^{2})}^{3} - 1}$

Paso 3.2.2

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{0}{{(x^{2})}^{3} - 1^{3}}$

Paso 3.2.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x^{2}$ y $b = 1$ .

$\frac{0}{(x^{2} - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2})}$

Paso 3.2.4

Simplifica.

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Paso 3.2.4.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{0}{(x^{2} - 1^{2}) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2})}$

Paso 3.2.4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2})}$

Paso 3.2.4.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2})}$

Paso 3.2.5

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.5.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 3.2.5.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) (x^{2 \cdot 2} + x^{2} + 1^{2})}$

Paso 3.2.5.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) (x^{4} + x^{2} + 1^{2})}$

Paso 3.2.5.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{0}{(x + 1) (x - 1) (x^{4} + x^{2} + 1)}$

Paso 3.3

Divide $0$ por $(x + 1) (x - 1) (x^{4} + x^{2} + 1)$ .

$0$