Precálculo Ejemplos

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{x^{2} + x - 30}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - 25}{lim_{x \to 5} x^{2} + x - 30}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 25}{lim_{x \to 5} x^{2} + x - 30}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 25}{lim_{x \to 5} x^{2} + x - 30}$

Paso 1.1.2.1.3

Evalúa el límite de $25$ que es constante cuando $x$ se acerca a $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 5} x^{2} + x - 30}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $5$ para $x$ .

$\frac{5^{2} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 5} x^{2} + x - 30}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{25 - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 5} x^{2} + x - 30}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$\frac{25 - 25}{lim_{x \to 5} x^{2} + x - 30}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $25$ de $25$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x^{2} + x - 30}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x^{2} + lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 30}$

Paso 1.1.3.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} + lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 30}$

Paso 1.1.3.3

Evalúa el límite de $30$ que es constante cuando $x$ se acerca a $5$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} + lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 30}$

Paso 1.1.3.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $5$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.3.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $5$ para $x$ .

$\frac{0}{5^{2} + lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 30}$

Paso 1.1.3.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $5$ para $x$ .

$\frac{0}{5^{2} + 5 - 1 \cdot 30}$

Paso 1.1.3.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.5.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{0}{25 + 5 - 1 \cdot 30}$

Paso 1.1.3.5.1.2

Multiplica $- 1$ por $30$ .

$\frac{0}{25 + 5 - 30}$

Paso 1.1.3.5.2

Suma $25$ y $5$ .

$\frac{0}{30 - 30}$

Paso 1.1.3.5.3

Resta $30$ de $30$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.5.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.6

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{x^{2} + x - 30} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 30]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 30]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 25$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 30]}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 30]}$

Paso 1.3.4

Como $- 25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 25$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 30]}$

Paso 1.3.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 30]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + x - 30$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 30]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 30]}$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 30]}$

Paso 1.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{2 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 30]}$

Paso 1.3.9

Como $- 30$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 30$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{2 x + 1 + 0}$

Paso 1.3.10

Suma $2 x + 1$ y $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{2 x + 1}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 lim_{x \to 5} \frac{x}{2 x + 1}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $5$ .

$2 \frac{lim_{x \to 5} x}{lim_{x \to 5} 2 x + 1}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $5$ .

$2 \frac{lim_{x \to 5} x}{lim_{x \to 5} 2 x + lim_{x \to 5} 1}$

Paso 2.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \frac{lim_{x \to 5} x}{2 lim_{x \to 5} x + lim_{x \to 5} 1}$

Paso 2.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $5$ .

$2 \frac{lim_{x \to 5} x}{2 lim_{x \to 5} x + 1}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $5$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $5$ para $x$ .

$2 \frac{5}{2 lim_{x \to 5} x + 1}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $5$ para $x$ .

$2 \frac{5}{2 \cdot 5 + 1}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$2 \frac{5}{10 + 1}$

Paso 4.1.2

Suma $10$ y $1$ .

$2 (\frac{5}{11})$

Paso 4.2

Multiplica $2 (\frac{5}{11})$ .

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Paso 4.2.1

Combina $2$ y $\frac{5}{11}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{11}$

Paso 4.2.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{10}{11}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{10}{11}$

Forma decimal:

$0.\overline{90}$