Precálculo Ejemplos

$lim_{a \to 25} \frac{\sqrt{a} - 5}{a - 25}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{a \to 25} \sqrt{a} - 5}{lim_{a \to 25} a - 25}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $a$ se aproxima a $25$ .

$\frac{lim_{a \to 25} \sqrt{a} - lim_{a \to 25} 5}{lim_{a \to 25} a - 25}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{a \to 25} a} - lim_{a \to 25} 5}{lim_{a \to 25} a - 25}$

Paso 1.1.2.1.3

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $a$ se acerca a $25$ .

$\frac{\sqrt{lim_{a \to 25} a} - 1 \cdot 5}{lim_{a \to 25} a - 25}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $a$ mediante el ingreso de $25$ para $a$ .

$\frac{\sqrt{25} - 1 \cdot 5}{lim_{a \to 25} a - 25}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}} - 1 \cdot 5}{lim_{a \to 25} a - 25}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{5 - 1 \cdot 5}{lim_{a \to 25} a - 25}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{5 - 5}{lim_{a \to 25} a - 25}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $5$ de $5$ .

$\frac{0}{lim_{a \to 25} a - 25}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $a$ se aproxima a $25$ .

$\frac{0}{lim_{a \to 25} a - lim_{a \to 25} 25}$

Paso 1.1.3.1.2

Evalúa el límite de $25$ que es constante cuando $a$ se acerca a $25$ .

$\frac{0}{lim_{a \to 25} a - 1 \cdot 25}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $a$ mediante el ingreso de $25$ para $a$ .

$\frac{0}{25 - 1 \cdot 25}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$\frac{0}{25 - 25}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $25$ de $25$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{a \to 25} \frac{\sqrt{a} - 5}{a - 25} = lim_{a \to 25} \frac{\frac{d}{d a} [\sqrt{a} - 5]}{\frac{d}{d a} [a - 25]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{d}{d a} [\sqrt{a} - 5]}{\frac{d}{d a} [a - 25]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{a} - 5$ con respecto a $a$ es $\frac{d}{d a} [\sqrt{a}] + \frac{d}{d a} [- 5]$ .

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{d}{d a} [\sqrt{a}] + \frac{d}{d a} [- 5]}{\frac{d}{d a} [a - 25]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d a} [\sqrt{a}]$ .

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Paso 1.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{a}$ como $a^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{d}{d a} [a^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d a} [- 5]}{\frac{d}{d a} [a - 25]}$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ es $n a^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{1}{2} a^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d a} [- 5]}{\frac{d}{d a} [a - 25]}$

Paso 1.3.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{1}{2} a^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d a} [- 5]}{\frac{d}{d a} [a - 25]}$

Paso 1.3.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{1}{2} a^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d a} [- 5]}{\frac{d}{d a} [a - 25]}$

Paso 1.3.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{1}{2} a^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d a} [- 5]}{\frac{d}{d a} [a - 25]}$

Paso 1.3.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{1}{2} a^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d a} [- 5]}{\frac{d}{d a} [a - 25]}$

Paso 1.3.3.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{1}{2} a^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d a} [- 5]}{\frac{d}{d a} [a - 25]}$

Paso 1.3.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{1}{2} a^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d a} [- 5]}{\frac{d}{d a} [a - 25]}$

Paso 1.3.4

Como $- 5$ es constante con respecto a $a$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $a$ es $0$ .

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{1}{2} a^{- \frac{1}{2}} + 0}{\frac{d}{d a} [a - 25]}$

Paso 1.3.5

Simplifica.

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Paso 1.3.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{a^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d a} [a - 25]}$

Paso 1.3.5.2

Combina los términos.

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Paso 1.3.5.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{a^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d a} [a - 25]}$

Paso 1.3.5.2.2

Suma $\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d a} [a - 25]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $a - 25$ con respecto a $a$ es $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- 25]$ .

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- 25]}$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ es $n a^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d a} [- 25]}$

Paso 1.3.8

Como $- 25$ es constante con respecto a $a$ , la derivada de $- 25$ con respecto a $a$ es $0$ .

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Paso 1.3.9

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{a \to 25} \frac{\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{a \to 25} \frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Paso 1.5

Reescribe $a^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{a}$ .

$lim_{a \to 25} \frac{1}{2 \sqrt{a}} \cdot 1$

Paso 1.6

Multiplica $\frac{1}{2 \sqrt{a}}$ por $1$ .

$lim_{a \to 25} \frac{1}{2 \sqrt{a}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $a$ .

$\frac{1}{2} lim_{a \to 25} \frac{1}{\sqrt{a}}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $a$ se aproxima a $25$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{a \to 25} 1}{lim_{a \to 25} \sqrt{a}}$

Paso 2.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $a$ se acerca a $25$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{a \to 25} \sqrt{a}}$

Paso 2.4

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{a \to 25} a}}$

Paso 3

Evalúa el límite de $a$ mediante el ingreso de $25$ para $a$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{25}}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5^{2}}}$

Paso 4.1.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Paso 4.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 5}$

Paso 4.2.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{1}{10}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{10}$

Forma decimal:

$0.1$