Precálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (2 x)}{x \tan (2 x)}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

Paso 1.1.2.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

Paso 1.1.2.1.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

Paso 1.1.2.1.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1 - \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1 - \cos (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

Paso 1.1.2.3.1.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \tan (2 x)}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Paso 1.1.3.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \tan (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Paso 1.1.3.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \tan (2 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 1.1.3.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.3.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \tan (2 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 1.1.3.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \tan (2 \cdot 0)}$

Paso 1.1.3.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.5.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \tan (0)}$

Paso 1.1.3.5.2

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Paso 1.1.3.5.3

Multiplica $0$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.5.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.6

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (2 x)}{x \tan (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \cos (2 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Paso 1.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

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Paso 1.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos (2 x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Paso 1.3.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.3.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Paso 1.3.4.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Paso 1.3.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Paso 1.3.4.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Paso 1.3.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Paso 1.3.4.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (2 x) \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Paso 1.3.4.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- 2 \sin (2 x))}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Paso 1.3.4.7

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Paso 1.3.5

Suma $0$ y $2 \sin (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [x \tan (2 x)]}$

Paso 1.3.6

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \tan (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (2 x)}{x \frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.3.7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (2 x)}{x (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.7.2

La derivada de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (2 x)}{x (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.7.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (2 x)}{x (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.8

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (2 x)}{x (\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (2 x)}{x (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.10

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (2 x)}{x (\sec^{2} (2 x) \cdot 2) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.11

Mueve $2$ a la izquierda de $\sec^{2} (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (2 x)}{x (2 \cdot \sec^{2} (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (2 x)}{x (2 \sec^{2} (2 x)) + \tan (2 x) \cdot 1}$

Paso 1.3.13

Multiplica $\tan (2 x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (2 x)}{x (2 \sec^{2} (2 x)) + \tan (2 x)}$

Paso 1.3.14

Reordena los términos.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (2 x)}{2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Paso 2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Paso 3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$2 \frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Paso 3.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 3.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 3.1.2.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$2 \frac{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Paso 3.1.2.1.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Paso 3.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 \frac{\sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Paso 3.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.2.3.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$2 \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Paso 3.1.2.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)}$

Paso 3.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 3.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} 2 x \sec^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Paso 3.1.3.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \sec^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Paso 3.1.3.3

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Paso 3.1.3.4

Mueve el exponente $2$ de $\sec^{2} (2 x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cdot {(lim_{x \to 0} \sec (2 x))}^{2} + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Paso 3.1.3.5

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Paso 3.1.3.6

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Paso 3.1.3.7

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + \tan (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Paso 3.1.3.8

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + \tan (2 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 3.1.3.9

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1.3.9.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 \frac{0}{2 \cdot 0 \cdot \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + \tan (2 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 3.1.3.9.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 \frac{0}{2 \cdot 0 \cdot \sec^{2} (2 \cdot 0) + \tan (2 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 3.1.3.9.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 \frac{0}{2 \cdot 0 \cdot \sec^{2} (2 \cdot 0) + \tan (2 \cdot 0)}$

Paso 3.1.3.10

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.3.10.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.10.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$2 \frac{0}{0 \cdot \sec^{2} (2 \cdot 0) + \tan (2 \cdot 0)}$

Paso 3.1.3.10.1.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$2 \frac{0}{0 \cdot \sec^{2} (0) + \tan (2 \cdot 0)}$

Paso 3.1.3.10.1.3

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$2 \frac{0}{0 \cdot 1^{2} + \tan (2 \cdot 0)}$

Paso 3.1.3.10.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 \frac{0}{0 \cdot 1 + \tan (2 \cdot 0)}$

Paso 3.1.3.10.1.5

Multiplica $0$ por $1$ .

$2 \frac{0}{0 + \tan (2 \cdot 0)}$

Paso 3.1.3.10.1.6

Multiplica $2$ por $0$ .

$2 \frac{0}{0 + \tan (0)}$

Paso 3.1.3.10.1.7

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$2 \frac{0}{0 + 0}$

Paso 3.1.3.10.2

Suma $0$ y $0$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Paso 3.1.3.10.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$2 (\frac{0}{0})$

Paso 3.1.3.11

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$2 (\frac{0}{0})$

Paso 3.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$2 (\frac{0}{0})$

Paso 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Paso 3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Paso 3.3.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Paso 3.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Paso 3.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Paso 3.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)]}$

Paso 3.3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x \sec^{2} (2 x) + \tan (2 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Paso 3.3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x \sec^{2} (2 x)]$ .

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Paso 3.3.8.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x \sec^{2} (2 x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x \sec^{2} (2 x)]$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 \frac{d}{d x} [x \sec^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Paso 3.3.8.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \sec^{2} (2 x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)] + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Paso 3.3.8.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sec (2 x)$ .

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Paso 3.3.8.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sec (2 x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)] + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Paso 3.3.8.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)] + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Paso 3.3.8.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sec (2 x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 2 \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)] + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Paso 3.3.8.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.8.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 2 \sec (2 x) \frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x] + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Paso 3.3.8.4.2

La derivada de $\sec (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 2 \sec (2 x) \sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x] + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Paso 3.3.8.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 2 \sec (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Paso 3.3.8.5

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 2 \sec (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x] + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Paso 3.3.8.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 2 \sec (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2 \cdot 1 + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Paso 3.3.8.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 2 \sec (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2 \cdot 1 + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Paso 3.3.8.8

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 2 \sec (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2 + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Paso 3.3.8.9

Mueve $2$ a la izquierda de $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 2 \sec (2 x) \cdot 2 \cdot \sec (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Paso 3.3.8.10

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 4 \sec (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Paso 3.3.8.11

Eleva $\sec (2 x)$ a la potencia de $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 4 \sec^{1} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Paso 3.3.8.12

Eleva $\sec (2 x)$ a la potencia de $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 4 \sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Paso 3.3.8.13

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 4 {\sec (2 x)}^{1 + 1} \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Paso 3.3.8.14

Suma $1$ y $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Paso 3.3.8.15

Multiplica $\sec^{2} (2 x)$ por $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Paso 3.3.9

Evalúa $\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

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Paso 3.3.9.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 3.3.9.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $2 x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x)) + \frac{d}{d u_{3}} [\tan (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 3.3.9.1.2

La derivada de $\tan (u_{3})$ con respecto a $u_{3}$ es $\sec^{2} (u_{3})$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x)) + \sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 3.3.9.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $2 x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x)) + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 3.3.9.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x)) + \sec^{2} (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3.9.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x)) + \sec^{2} (2 x) \cdot 2 \cdot 1}$

Paso 3.3.9.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x)) + \sec^{2} (2 x) \cdot 2}$

Paso 3.3.9.5

Mueve $2$ a la izquierda de $\sec^{2} (2 x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (x \cdot 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + \sec^{2} (2 x)) + 2 \sec^{2} (2 x)}$

Paso 3.3.10

Simplifica.

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Paso 3.3.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 x \cdot 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)}$

Paso 3.3.10.2

Combina los términos.

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Paso 3.3.10.2.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{8 x \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x) + 2 \sec^{2} (2 x)}$

Paso 3.3.10.2.2

Suma $2 \sec^{2} (2 x)$ y $2 \sec^{2} (2 x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{8 x \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Paso 3.3.10.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.10.3.1

Reescribe $\sec (2 x)$ en términos de senos y cosenos.

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{8 x {(\frac{1}{\cos (2 x)})}^{2} \tan (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Paso 3.3.10.3.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{8 x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x)} \tan (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Paso 3.3.10.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{8 x \frac{1}{\cos^{2} (2 x)} \tan (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Paso 3.3.10.3.4

Multiplica $8 x \frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ .

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Paso 3.3.10.3.4.1

Combina $8$ y $\frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{x \frac{8}{\cos^{2} (2 x)} \tan (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Paso 3.3.10.3.4.2

Combina $x$ y $\frac{8}{\cos^{2} (2 x)}$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{x \cdot 8}{\cos^{2} (2 x)} \tan (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Paso 3.3.10.3.5

Mueve $8$ a la izquierda de $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 \cdot x}{\cos^{2} (2 x)} \tan (2 x) + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Paso 3.3.10.3.6

Reescribe $\tan (2 x)$ en términos de senos y cosenos.

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 x}{\cos^{2} (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Paso 3.3.10.3.7

Combinar.

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x) \cos (2 x)} + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Paso 3.3.10.3.8

Multiplica $\cos^{2} (2 x)$ por $\cos (2 x)$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.10.3.8.1

Multiplica $\cos^{2} (2 x)$ por $\cos (2 x)$ .

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Paso 3.3.10.3.8.1.1

Eleva $\cos (2 x)$ a la potencia de $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x) \cos^{1} (2 x)} + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Paso 3.3.10.3.8.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{{\cos (2 x)}^{2 + 1}} + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Paso 3.3.10.3.8.2

Suma $2$ y $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + 4 \sec^{2} (2 x)}$

Paso 3.3.10.3.9

Reescribe $\sec (2 x)$ en términos de senos y cosenos.

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + 4 {(\frac{1}{\cos (2 x)})}^{2}}$

Paso 3.3.10.3.10

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + 4 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x)}}$

Paso 3.3.10.3.11

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + 4 \frac{1}{\cos^{2} (2 x)}}$

Paso 3.3.10.3.12

Combina $4$ y $\frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + \frac{4}{\cos^{2} (2 x)}}$

Paso 3.4

Combina los términos.

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Paso 3.4.1

Para escribir $\frac{4}{\cos^{2} (2 x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\cos (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + \frac{4}{\cos^{2} (2 x)} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\cos (2 x)}}$

Paso 3.4.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $\cos^{3} (2 x)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.4.2.1

Multiplica $\frac{4}{\cos^{2} (2 x)}$ por $\frac{\cos (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + \frac{4 \cos (2 x)}{\cos^{2} (2 x) \cos (2 x)}}$

Paso 3.4.2.2

Multiplica $\cos^{2} (2 x)$ por $\cos (2 x)$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.2.2.1

Multiplica $\cos^{2} (2 x)$ por $\cos (2 x)$ .

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Paso 3.4.2.2.1.1

Eleva $\cos (2 x)$ a la potencia de $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + \frac{4 \cos (2 x)}{\cos^{2} (2 x) \cos^{1} (2 x)}}$

Paso 3.4.2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + \frac{4 \cos (2 x)}{{\cos (2 x)}^{2 + 1}}}$

Paso 3.4.2.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 x \sin (2 x)}{\cos^{3} (2 x)} + \frac{4 \cos (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}}$

Paso 3.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{\frac{8 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{\frac{8 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}}$

Paso 4.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$2 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \frac{8 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}}$

Paso 4.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$2 \cdot 2 \frac{\cos (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} \frac{8 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}}$

Paso 4.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \frac{8 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}{\cos^{3} (2 x)}}$

Paso 4.5

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\frac{lim_{x \to 0} 8 x \sin (2 x) + 4 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

Paso 4.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\frac{lim_{x \to 0} 8 x \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 4 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

Paso 4.7

Mueve el término $8$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 4 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

Paso 4.8

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 4 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

Paso 4.9

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} 4 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

Paso 4.10

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 4 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

Paso 4.11

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

Paso 4.12

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

Paso 4.13

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (2 x)}}$

Paso 4.14

Mueve el exponente $3$ de $\cos^{3} (2 x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{{(lim_{x \to 0} \cos (2 x))}^{3}}}$

Paso 4.15

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} 2 x)}}$

Paso 4.16

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

Paso 5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{\frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

Paso 5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{\frac{8 \cdot 0 \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

Paso 5.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{\frac{8 \cdot 0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

Paso 5.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{\frac{8 \cdot 0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 lim_{x \to 0} x)}}$

Paso 5.5

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{\frac{8 \cdot 0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 2$ .

$2 (2) \frac{\cos (2 \cdot 0)}{\frac{8 \cdot 0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

Paso 6.1.2

Factoriza $2$ de $\frac{8 \cdot 0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 4 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}$ .

$2 (2) \frac{\cos (2 \cdot 0)}{2 \frac{4 \cdot 0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 2 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

Paso 6.1.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot 2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{2 \frac{4 \cdot 0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 2 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

Paso 6.1.4

Reescribe la expresión.

$2 \frac{\cos (2 \cdot 0)}{\frac{4 \cdot 0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 2 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$2 \frac{\cos (0)}{\frac{4 \cdot 0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 2 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

Paso 6.3

Multiplica $4$ por $0$ .

$2 \frac{\cos (0)}{\frac{0 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 2 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

Paso 6.4

Multiplica $2$ por $0$ .

$2 \frac{\cos (0)}{\frac{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

Paso 6.5

Multiplica $0$ por $\sin (0)$ .

$2 \frac{\cos (0)}{\frac{0 + 2 \cos (2 \cdot 0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

Paso 6.6

Multiplica $2$ por $0$ .

$2 \frac{\cos (0)}{\frac{0 + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (2 \cdot 0)}}$

Paso 6.7

Multiplica $2$ por $0$ .

$2 \frac{\cos (0)}{\frac{0 + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}$

Paso 6.8

Combina $2$ y $\frac{\cos (0)}{\frac{0 + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}$ .

$\frac{2 \cos (0)}{\frac{0 + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}$

Paso 6.9

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.9.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{2 \cos (0)}{\frac{0 + 2 \cdot 1}{\cos^{3} (0)}}$

Paso 6.9.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 \cos (0)}{\frac{0 + 2}{\cos^{3} (0)}}$

Paso 6.9.3

Suma $0$ y $2$ .

$\frac{2 \cos (0)}{\frac{2}{\cos^{3} (0)}}$

Paso 6.10

Simplifica el denominador.

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Paso 6.10.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{2 \cos (0)}{\frac{2}{1^{3}}}$

Paso 6.10.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2 \cos (0)}{\frac{2}{1}}$

Paso 6.11

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{2 \cdot 1}{\frac{2}{1}}$

Paso 6.12

Divide $2$ por $1$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2}$

Paso 6.13

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2}{2}$

Paso 6.14

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.14.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2}$

Paso 6.14.2

Reescribe la expresión.

$1$