Precálculo Ejemplos

$\sum_{n = 1}^{8} 5 \cdot {(\frac{1}{5})}^{n}$

Paso 1

La suma de una serie geométrica finita se puede obtener mediante la fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Paso 2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ y la simplificación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Sustituye $a_{n}$ y $a_{n + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{5 \cdot {(\frac{1}{5})}^{n + 1}}{5 \cdot {(\frac{1}{5})}^{n}}$

Paso 2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$r = \frac{5 \cdot {(\frac{1}{5})}^{n + 1}}{5 \cdot {(\frac{1}{5})}^{n}}$

Paso 2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n + 1}}{{(\frac{1}{5})}^{n}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de ${(\frac{1}{5})}^{n + 1}$ y ${(\frac{1}{5})}^{n}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Factoriza ${(\frac{1}{5})}^{n}$ de ${(\frac{1}{5})}^{n + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n} \frac{1}{5}}{{(\frac{1}{5})}^{n}}$

Paso 2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n} \frac{1}{5}}{{(\frac{1}{5})}^{n} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n} \frac{1}{5}}{{(\frac{1}{5})}^{n} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \frac{\frac{1}{5}}{1}$

Paso 2.2.2.2.4

Divide $\frac{1}{5}$ por $1$ .

$r = \frac{1}{5}$

Paso 3

Obtén el primer término en la serie mediante la sustitución de la cota inferior y la simplificación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Sustituye $1$ por $n$ en $5 \cdot {(\frac{1}{5})}^{n}$ .

$a = 5 \cdot {(\frac{1}{5})}^{1}$

Paso 3.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Simplifica.

$a = 5 \cdot \frac{1}{5}$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común.

$a = 5 \cdot \frac{1}{5}$

Paso 3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$a = 1$

Paso 4

Sustituye los valores de la razón, el primer término y el número de términos en la fórmula de suma.

$1 \frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{8}}{1 - \frac{1}{5}}$

Paso 5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Multiplica $\frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{8}}{1 - \frac{1}{5}}$ por $1$ .

$\frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{8}}{1 - \frac{1}{5}}$

Paso 5.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Multiplica $\frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{8}}{1 - \frac{1}{5}}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{5}{5} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{8}}{1 - \frac{1}{5}}$

Paso 5.2.2

Combinar.

$\frac{5 (1 - {(\frac{1}{5})}^{8})}{5 (1 - \frac{1}{5})}$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{8})}{5 \cdot 1 + 5 (- \frac{1}{5})}$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{5}$ al numerador.

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{8})}{5 \cdot 1 + 5 (\frac{- 1}{5})}$

Paso 5.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{8})}{5 \cdot 1 + 5 (\frac{- 1}{5})}$

Paso 5.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{8})}{5 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.1

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{5 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{8})}{5 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.5.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5 + 5 (- \frac{1^{8}}{5^{8}})}{5 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.5.3

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1^{8}}{5^{8}}$ al numerador.

$\frac{5 + 5 \frac{- 1^{8}}{5^{8}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.5.3.2

Factoriza $5$ de $5^{8}$ .

$\frac{5 + 5 \frac{- 1^{8}}{5 \cdot 5^{7}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.5.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{5 + 5 \frac{- 1^{8}}{5 \cdot 5^{7}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.5.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{5 + \frac{- 1^{8}}{5^{7}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.5.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{5 + \frac{- 1 \cdot 1}{5^{7}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.5.5

Eleva $5$ a la potencia de $7$ .

$\frac{5 + \frac{- 1 \cdot 1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.5.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{5 + \frac{- 1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{5 - \frac{1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.5.8

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{78125}{78125}$ .

$\frac{5 \cdot \frac{78125}{78125} - \frac{1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.5.9

Combina $5$ y $\frac{78125}{78125}$ .

$\frac{\frac{5 \cdot 78125}{78125} - \frac{1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.5.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{5 \cdot 78125 - 1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.5.11

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.11.1

Multiplica $5$ por $78125$ .

$\frac{\frac{390625 - 1}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.5.11.2

Resta $1$ de $390625$ .

$\frac{\frac{390624}{78125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Paso 5.6

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.1

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{\frac{390624}{78125}}{5 - 1}$

Paso 5.6.2

Resta $1$ de $5$ .

$\frac{\frac{390624}{78125}}{4}$

Paso 5.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{390624}{78125} \cdot \frac{1}{4}$

Paso 5.8

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.8.1

Factoriza $4$ de $390624$ .

$\frac{4 (97656)}{78125} \cdot \frac{1}{4}$

Paso 5.8.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 97656}{78125} \cdot \frac{1}{4}$

Paso 5.8.3

Reescribe la expresión.

$\frac{97656}{78125}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{97656}{78125}$

Forma decimal:

$1.2499968$

Forma de número mixto:

$1 \frac{19531}{78125}$