Precálculo Ejemplos

$\sum_{n = 11}^{30} n$

Paso 1

Divide la suma para hacer que el valor inicial de $n$ sea igual a $1$ .

$\sum_{n = 11}^{30} n = \sum_{n = 1}^{30} n - \sum_{n = 1}^{10} n$

Paso 2

Evalúa $\sum_{n = 1}^{30} n$ .

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Paso 2.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $1$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Paso 2.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$\frac{30 (30 + 1)}{2}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común de $30$ y $2$ .

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Paso 2.3.1.1

Factoriza $2$ de $30 (30 + 1)$ .

$\frac{2 (15 (30 + 1))}{2}$

Paso 2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (15 (30 + 1))}{2 (1)}$

Paso 2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (15 (30 + 1))}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{15 (30 + 1)}{1}$

Paso 2.3.1.2.4

Divide $15 (30 + 1)$ por $1$ .

$15 (30 + 1)$

Paso 2.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.2.1

Suma $30$ y $1$ .

$15 \cdot 31$

Paso 2.3.2.2

Multiplica $15$ por $31$ .

$465$

Paso 3

Evalúa $\sum_{n = 1}^{10} n$ .

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Paso 3.1

La fórmula para la suma de un polinomio con grado $1$ es la siguiente:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Paso 3.2

Sustituye los valores en la fórmula.

$\frac{10 (10 + 1)}{2}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $10$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.1

Factoriza $2$ de $10 (10 + 1)$ .

$\frac{2 (5 (10 + 1))}{2}$

Paso 3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (5 (10 + 1))}{2 (1)}$

Paso 3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (5 (10 + 1))}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5 (10 + 1)}{1}$

Paso 3.3.1.2.4

Divide $5 (10 + 1)$ por $1$ .

$5 (10 + 1)$

Paso 3.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.2.1

Suma $10$ y $1$ .

$5 \cdot 11$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $5$ por $11$ .

$55$

Paso 4

Reemplaza las sumas con los valores obtenidos.

$465 - 55$

Paso 5

Resta $55$ de $465$ .

$410$