Precálculo Ejemplos

$\sum_{k = 1}^{4} {(- \frac{3}{7})}^{k}$

Paso 1

Expande la serie para cada valor de $k$ .

${(- \frac{3}{7})}^{1} + {(- \frac{3}{7})}^{2} + {(- \frac{3}{7})}^{3} + {(- \frac{3}{7})}^{4}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Simplifica.

$- \frac{3}{7} + {(- \frac{3}{7})}^{2} + {(- \frac{3}{7})}^{3} + {(- \frac{3}{7})}^{4}$

Paso 2.1.2

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.1.2.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{7}$ .

$- \frac{3}{7} + {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{7})}^{2} + {(- \frac{3}{7})}^{3} + {(- \frac{3}{7})}^{4}$

Paso 2.1.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{7}$ .

$- \frac{3}{7} + {(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{7^{2}} + {(- \frac{3}{7})}^{3} + {(- \frac{3}{7})}^{4}$

Paso 2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{3}{7} + 1 \frac{3^{2}}{7^{2}} + {(- \frac{3}{7})}^{3} + {(- \frac{3}{7})}^{4}$

Paso 2.1.4

Multiplica $\frac{3^{2}}{7^{2}}$ por $1$ .

$- \frac{3}{7} + \frac{3^{2}}{7^{2}} + {(- \frac{3}{7})}^{3} + {(- \frac{3}{7})}^{4}$

Paso 2.1.5

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{3}{7} + \frac{9}{7^{2}} + {(- \frac{3}{7})}^{3} + {(- \frac{3}{7})}^{4}$

Paso 2.1.6

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{3}{7} + \frac{9}{49} + {(- \frac{3}{7})}^{3} + {(- \frac{3}{7})}^{4}$

Paso 2.1.7

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.1.7.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{7}$ .

$- \frac{3}{7} + \frac{9}{49} + {(- 1)}^{3} {(\frac{3}{7})}^{3} + {(- \frac{3}{7})}^{4}$

Paso 2.1.7.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{7}$ .

$- \frac{3}{7} + \frac{9}{49} + {(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{7^{3}} + {(- \frac{3}{7})}^{4}$

Paso 2.1.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{3}{7} + \frac{9}{49} - \frac{3^{3}}{7^{3}} + {(- \frac{3}{7})}^{4}$

Paso 2.1.9

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{3}{7} + \frac{9}{49} - \frac{27}{7^{3}} + {(- \frac{3}{7})}^{4}$

Paso 2.1.10

Eleva $7$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{3}{7} + \frac{9}{49} - \frac{27}{343} + {(- \frac{3}{7})}^{4}$

Paso 2.1.11

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.1.11.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{7}$ .

$- \frac{3}{7} + \frac{9}{49} - \frac{27}{343} + {(- 1)}^{4} {(\frac{3}{7})}^{4}$

Paso 2.1.11.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{7}$ .

$- \frac{3}{7} + \frac{9}{49} - \frac{27}{343} + {(- 1)}^{4} \frac{3^{4}}{7^{4}}$

Paso 2.1.12

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$- \frac{3}{7} + \frac{9}{49} - \frac{27}{343} + 1 \frac{3^{4}}{7^{4}}$

Paso 2.1.13

Multiplica $\frac{3^{4}}{7^{4}}$ por $1$ .

$- \frac{3}{7} + \frac{9}{49} - \frac{27}{343} + \frac{3^{4}}{7^{4}}$

Paso 2.1.14

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$- \frac{3}{7} + \frac{9}{49} - \frac{27}{343} + \frac{81}{7^{4}}$

Paso 2.1.15

Eleva $7$ a la potencia de $4$ .

$- \frac{3}{7} + \frac{9}{49} - \frac{27}{343} + \frac{81}{2401}$

Paso 2.2

Obtén el denominador común

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Paso 2.2.1

Multiplica $\frac{3}{7}$ por $\frac{343}{343}$ .

$- (\frac{3}{7} \cdot \frac{343}{343}) + \frac{9}{49} - \frac{27}{343} + \frac{81}{2401}$

Paso 2.2.2

Multiplica $\frac{3}{7}$ por $\frac{343}{343}$ .

$- \frac{3 \cdot 343}{7 \cdot 343} + \frac{9}{49} - \frac{27}{343} + \frac{81}{2401}$

Paso 2.2.3

Multiplica $\frac{9}{49}$ por $\frac{49}{49}$ .

$- \frac{3 \cdot 343}{7 \cdot 343} + \frac{9}{49} \cdot \frac{49}{49} - \frac{27}{343} + \frac{81}{2401}$

Paso 2.2.4

Multiplica $\frac{9}{49}$ por $\frac{49}{49}$ .

$- \frac{3 \cdot 343}{7 \cdot 343} + \frac{9 \cdot 49}{49 \cdot 49} - \frac{27}{343} + \frac{81}{2401}$

Paso 2.2.5

Multiplica $\frac{27}{343}$ por $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{3 \cdot 343}{7 \cdot 343} + \frac{9 \cdot 49}{49 \cdot 49} - (\frac{27}{343} \cdot \frac{7}{7}) + \frac{81}{2401}$

Paso 2.2.6

Multiplica $\frac{27}{343}$ por $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{3 \cdot 343}{7 \cdot 343} + \frac{9 \cdot 49}{49 \cdot 49} - \frac{27 \cdot 7}{343 \cdot 7} + \frac{81}{2401}$

Paso 2.2.7

Multiplica $7$ por $343$ .

$- \frac{3 \cdot 343}{2401} + \frac{9 \cdot 49}{49 \cdot 49} - \frac{27 \cdot 7}{343 \cdot 7} + \frac{81}{2401}$

Paso 2.2.8

Multiplica $49$ por $49$ .

$- \frac{3 \cdot 343}{2401} + \frac{9 \cdot 49}{2401} - \frac{27 \cdot 7}{343 \cdot 7} + \frac{81}{2401}$

Paso 2.2.9

Reordena los factores de $343 \cdot 7$ .

$- \frac{3 \cdot 343}{2401} + \frac{9 \cdot 49}{2401} - \frac{27 \cdot 7}{7 \cdot 343} + \frac{81}{2401}$

Paso 2.2.10

Multiplica $7$ por $343$ .

$- \frac{3 \cdot 343}{2401} + \frac{9 \cdot 49}{2401} - \frac{27 \cdot 7}{2401} + \frac{81}{2401}$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 3 \cdot 343 + 9 \cdot 49 - 27 \cdot 7 + 81}{2401}$

Paso 2.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.1

Multiplica $- 3$ por $343$ .

$\frac{- 1029 + 9 \cdot 49 - 27 \cdot 7 + 81}{2401}$

Paso 2.4.2

Multiplica $9$ por $49$ .

$\frac{- 1029 + 441 - 27 \cdot 7 + 81}{2401}$

Paso 2.4.3

Multiplica $- 27$ por $7$ .

$\frac{- 1029 + 441 - 189 + 81}{2401}$

Paso 2.5

Suma $- 1029$ y $441$ .

$\frac{- 588 - 189 + 81}{2401}$

Paso 2.6

Resta $189$ de $- 588$ .

$\frac{- 777 + 81}{2401}$

Paso 2.7

Suma $- 777$ y $81$ .

$\frac{- 696}{2401}$

Paso 2.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{696}{2401}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{696}{2401}$

Forma decimal:

$- 0.28987921 \dots$