Precálculo Ejemplos

$\sum_{n = 1}^{4} {(\frac{3}{4})}^{n}$

Paso 1

Expande la serie para cada valor de $n$ .

${(\frac{3}{4})}^{1} + {(\frac{3}{4})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{3} + {(\frac{3}{4})}^{4}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Simplifica.

$\frac{3}{4} + {(\frac{3}{4})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{3} + {(\frac{3}{4})}^{4}$

Paso 2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{3^{2}}{4^{2}} + {(\frac{3}{4})}^{3} + {(\frac{3}{4})}^{4}$

Paso 2.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{3}{4} + \frac{9}{4^{2}} + {(\frac{3}{4})}^{3} + {(\frac{3}{4})}^{4}$

Paso 2.1.4

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{3}{4} + \frac{9}{16} + {(\frac{3}{4})}^{3} + {(\frac{3}{4})}^{4}$

Paso 2.1.5

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{9}{16} + \frac{3^{3}}{4^{3}} + {(\frac{3}{4})}^{4}$

Paso 2.1.6

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{3}{4} + \frac{9}{16} + \frac{27}{4^{3}} + {(\frac{3}{4})}^{4}$

Paso 2.1.7

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$\frac{3}{4} + \frac{9}{16} + \frac{27}{64} + {(\frac{3}{4})}^{4}$

Paso 2.1.8

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{9}{16} + \frac{27}{64} + \frac{3^{4}}{4^{4}}$

Paso 2.1.9

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$\frac{3}{4} + \frac{9}{16} + \frac{27}{64} + \frac{81}{4^{4}}$

Paso 2.1.10

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$\frac{3}{4} + \frac{9}{16} + \frac{27}{64} + \frac{81}{256}$

Paso 2.2

Obtén el denominador común

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Paso 2.2.1

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $\frac{64}{64}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{64}{64} + \frac{9}{16} + \frac{27}{64} + \frac{81}{256}$

Paso 2.2.2

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $\frac{64}{64}$ .

$\frac{3 \cdot 64}{4 \cdot 64} + \frac{9}{16} + \frac{27}{64} + \frac{81}{256}$

Paso 2.2.3

Multiplica $\frac{9}{16}$ por $\frac{16}{16}$ .

$\frac{3 \cdot 64}{4 \cdot 64} + \frac{9}{16} \cdot \frac{16}{16} + \frac{27}{64} + \frac{81}{256}$

Paso 2.2.4

Multiplica $\frac{9}{16}$ por $\frac{16}{16}$ .

$\frac{3 \cdot 64}{4 \cdot 64} + \frac{9 \cdot 16}{16 \cdot 16} + \frac{27}{64} + \frac{81}{256}$

Paso 2.2.5

Multiplica $\frac{27}{64}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3 \cdot 64}{4 \cdot 64} + \frac{9 \cdot 16}{16 \cdot 16} + \frac{27}{64} \cdot \frac{4}{4} + \frac{81}{256}$

Paso 2.2.6

Multiplica $\frac{27}{64}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3 \cdot 64}{4 \cdot 64} + \frac{9 \cdot 16}{16 \cdot 16} + \frac{27 \cdot 4}{64 \cdot 4} + \frac{81}{256}$

Paso 2.2.7

Multiplica $4$ por $64$ .

$\frac{3 \cdot 64}{256} + \frac{9 \cdot 16}{16 \cdot 16} + \frac{27 \cdot 4}{64 \cdot 4} + \frac{81}{256}$

Paso 2.2.8

Multiplica $16$ por $16$ .

$\frac{3 \cdot 64}{256} + \frac{9 \cdot 16}{256} + \frac{27 \cdot 4}{64 \cdot 4} + \frac{81}{256}$

Paso 2.2.9

Reordena los factores de $64 \cdot 4$ .

$\frac{3 \cdot 64}{256} + \frac{9 \cdot 16}{256} + \frac{27 \cdot 4}{4 \cdot 64} + \frac{81}{256}$

Paso 2.2.10

Multiplica $4$ por $64$ .

$\frac{3 \cdot 64}{256} + \frac{9 \cdot 16}{256} + \frac{27 \cdot 4}{256} + \frac{81}{256}$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 \cdot 64 + 9 \cdot 16 + 27 \cdot 4 + 81}{256}$

Paso 2.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.1

Multiplica $3$ por $64$ .

$\frac{192 + 9 \cdot 16 + 27 \cdot 4 + 81}{256}$

Paso 2.4.2

Multiplica $9$ por $16$ .

$\frac{192 + 144 + 27 \cdot 4 + 81}{256}$

Paso 2.4.3

Multiplica $27$ por $4$ .

$\frac{192 + 144 + 108 + 81}{256}$

Paso 2.5

Suma $192$ y $144$ .

$\frac{336 + 108 + 81}{256}$

Paso 2.6

Suma $336$ y $108$ .

$\frac{444 + 81}{256}$

Paso 2.7

Suma $444$ y $81$ .

$\frac{525}{256}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{525}{256}$

Forma decimal:

$2.05078125$

Forma de número mixto:

$2 \frac{13}{256}$