Precálculo Ejemplos

$x^{2} + 8 x = 4 y - 8$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Aísla $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Reescribe la ecuación como $4 y - 8 = x^{2} + 8 x$ .

$4 y - 8 = x^{2} + 8 x$

Paso 1.1.2

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$4 y = x^{2} + 8 x + 8$

Paso 1.1.3

Divide cada término en $4 y = x^{2} + 8 x + 8$ por $4$ y simplifica.

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Paso 1.1.3.1

Divide cada término en $4 y = x^{2} + 8 x + 8$ por $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{8 x}{4} + \frac{8}{4}$

Paso 1.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{8 x}{4} + \frac{8}{4}$

Paso 1.1.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{8 x}{4} + \frac{8}{4}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.1.1

Cancela el factor común de $8$ y $4$ .

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Paso 1.1.3.3.1.1.1

Factoriza $4$ de $8 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (2 x)}{4} + \frac{8}{4}$

Paso 1.1.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.3.1.1.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (2 x)}{4 (1)} + \frac{8}{4}$

Paso 1.1.3.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (2 x)}{4 \cdot 1} + \frac{8}{4}$

Paso 1.1.3.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 x}{1} + \frac{8}{4}$

Paso 1.1.3.3.1.1.2.4

Divide $2 x$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + 2 x + \frac{8}{4}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Divide $8$ por $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + 2 x + 2$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $\frac{x^{2}}{4} + 2 x + 2$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{1}{4}$

$b = 2$

$c = 2$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{4})}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{4})}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{1}{\frac{1}{4}}$

Paso 1.2.3.2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = 1 \cdot 4$

Paso 1.2.3.2.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$d = 4$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 2 - \frac{2^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = 2 - \frac{4}{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$e = 2 - \frac{4}{\frac{4}{4}}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $4$ por $4$ .

$e = 2 - \frac{4}{1}$

Paso 1.2.4.2.1.4

Divide $4$ por $1$ .

$e = 2 - 1 \cdot 4$

Paso 1.2.4.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = 2 - 4$

Paso 1.2.4.2.2

Resta $4$ de $2$ .

$e = - 2$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{1}{4} {(x + 4)}^{2} - 2$ .

$\frac{1}{4} {(x + 4)}^{2} - 2$

Paso 1.3

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = \frac{1}{4} \cdot {(x + 4)}^{2} - 2$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 4$

$k = - 2$

Paso 3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 4, - 2)$

Paso 5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

Paso 5.3.2

Simplifica mediante la división de números.

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Paso 5.3.2.1

Divide $4$ por $4$ .

$\frac{1}{1}$

Paso 5.3.2.2

Divide $1$ por $1$ .

$1$

Paso 6

Obtén el foco.

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Paso 6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 4, - 1)$

Paso 7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = - 4$

Paso 8

Obtén la directriz.

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Paso 8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - 3$

Paso 9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- 4, - 2)$

Foco: $(- 4, - 1)$

Eje de simetría: $x = - 4$

Directriz: $y = - 3$

Paso 10