Precálculo Ejemplos

$5 x^{2} + 3 y^{2} = 15$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la elipse.

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Paso 1.1

Divide cada término por $15$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{5 x^{2}}{15} + \frac{3 y^{2}}{15} = \frac{15}{15}$

Paso 1.2

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{5} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = \sqrt{5}$

$b = \sqrt{3}$

$k = 0$

$h = 0$

Paso 4

El centro de una elipse sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(0, 0)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la elipse con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 5.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Paso 5.3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Paso 5.3.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{5^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Paso 5.3.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.1.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{5^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Paso 5.3.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{5^{1} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Paso 5.3.1.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{5 - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Paso 5.3.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{5 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{5 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{5 - 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{5 - 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{5 - 3^{1}}$

Paso 5.3.2.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{5 - 1 \cdot 3}$

Paso 5.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\sqrt{5 - 3}$

Paso 5.3.3.2

Resta $3$ de $5$ .

$\sqrt{2}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una elipse puede obtenerse al sumar $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0, 0 + \sqrt{5})$

Paso 6.3

Simplifica.

$(0, \sqrt{5})$

Paso 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Paso 6.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(0, 0 - (\sqrt{5}))$

Paso 6.6

Simplifica.

$(0, - \sqrt{5})$

Paso 6.7

Las elipses tienen dos vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(0, \sqrt{5})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - \sqrt{5})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, \sqrt{5})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - \sqrt{5})$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una elipse puede obtenerse al sumar $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0, 0 + \sqrt{2})$

Paso 7.3

Simplifica.

$(0, \sqrt{2})$

Paso 7.4

El primer foco de una elipse puede obtenerse al restar $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Paso 7.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0, 0 - (\sqrt{2}))$

Paso 7.6

Simplifica.

$(0, - \sqrt{2})$

Paso 7.7

Las elipses tienen dos focos.

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{2})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{2})$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1.1

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Paso 8.3.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Paso 8.3.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Paso 8.3.1.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Paso 8.3.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{5^{1} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Paso 8.3.1.1.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{5 - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Paso 8.3.1.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 8.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Paso 8.3.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{5}}$

Paso 8.3.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{5 - 3^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}}$

Paso 8.3.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{5 - 3^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}}$

Paso 8.3.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{5 - 3^{1}}}{\sqrt{5}}$

Paso 8.3.1.2.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{5 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{5}}$

Paso 8.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{5 - 3}}{\sqrt{5}}$

Paso 8.3.1.4

Resta $3$ de $5$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Paso 8.3.2

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Paso 8.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 8.3.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 8.3.3.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Paso 8.3.3.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Paso 8.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Paso 8.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 8.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 8.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 8.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 8.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Paso 8.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

Paso 8.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.4.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

Paso 8.3.4.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{\sqrt{10}}{5}$

Paso 9

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una elipse.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, \sqrt{5})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - \sqrt{5})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{2})$

Excentricidad: $\frac{\sqrt{10}}{5}$

Paso 10