Precálculo Ejemplos

$36 y^{2} - 64 x^{2} - 144 y - 128 x - 2224 = 0$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la hipérbola.

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Paso 1.1

Suma $2224$ a ambos lados de la ecuación.

$36 y^{2} - 64 x^{2} - 144 y - 128 x = 2224$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $36 y^{2} - 144 y$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 36$

$b = - 144$

$c = 0$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 144}{2 \cdot 36}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 144$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 144$ .

$d = \frac{2 \cdot - 72}{2 \cdot 36}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 36$ .

$d = \frac{2 \cdot - 72}{2 (36)}$

Paso 1.2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 72}{2 \cdot 36}$

Paso 1.2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 72}{36}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $- 72$ y $36$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Factoriza $36$ de $- 72$ .

$d = \frac{36 \cdot - 2}{36}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.2.2.1

Factoriza $36$ de $36$ .

$d = \frac{36 \cdot - 2}{36 (1)}$

Paso 1.2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{36 \cdot - 2}{36 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 2}{1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$d = - 2$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 144)}^{2}}{4 \cdot 36}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 144$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{20736}{4 \cdot 36}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $36$ .

$e = 0 - \frac{20736}{144}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $20736$ por $144$ .

$e = 0 - 1 \cdot 144$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $144$ .

$e = 0 - 144$

Paso 1.2.4.2.2

Resta $144$ de $0$ .

$e = - 144$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $36 {(y - 2)}^{2} - 144$ .

$36 {(y - 2)}^{2} - 144$

Paso 1.3

Sustituye $36 {(y - 2)}^{2} - 144$ por $36 y^{2} - 144 y$ en la ecuación $36 y^{2} - 64 x^{2} - 144 y - 128 x = 2224$ .

$36 {(y - 2)}^{2} - 144 - 64 x^{2} - 128 x = 2224$

Paso 1.4

Mueve $- 144$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $144$ a ambos lados.

$36 {(y - 2)}^{2} - 64 x^{2} - 128 x = 2224 + 144$

Paso 1.5

Completa el cuadrado de $- 64 x^{2} - 128 x$ .

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Paso 1.5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 64$

$b = - 128$

$c = 0$

Paso 1.5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 128}{2 \cdot - 64}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 128$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 128$ .

$d = \frac{2 \cdot - 64}{2 \cdot - 64}$

Paso 1.5.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 64$ .

$d = \frac{2 \cdot - 64}{2 (- 64)}$

Paso 1.5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 64}{2 \cdot - 64}$

Paso 1.5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 64}{- 64}$

Paso 1.5.3.2.2

Cancela el factor común de $- 64$ .

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Paso 1.5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{- 64}{- 64}$

Paso 1.5.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$d = 1$

Paso 1.5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 128)}^{2}}{4 \cdot - 64}$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.2.1.1

Eleva $- 128$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{16384}{4 \cdot - 64}$

Paso 1.5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 64$ .

$e = 0 - \frac{16384}{- 256}$

Paso 1.5.4.2.1.3

Divide $16384$ por $- 256$ .

$e = 0 - - 64$

Paso 1.5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 64$ .

$e = 0 + 64$

Paso 1.5.4.2.2

Suma $0$ y $64$ .

$e = 64$

Paso 1.5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- 64 {(x + 1)}^{2} + 64$ .

$- 64 {(x + 1)}^{2} + 64$

Paso 1.6

Sustituye $- 64 {(x + 1)}^{2} + 64$ por $- 64 x^{2} - 128 x$ en la ecuación $36 y^{2} - 64 x^{2} - 144 y - 128 x = 2224$ .

$36 {(y - 2)}^{2} - 64 {(x + 1)}^{2} + 64 = 2224 + 144$

Paso 1.7

Mueve $64$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $64$ a ambos lados.

$36 {(y - 2)}^{2} - 64 {(x + 1)}^{2} = 2224 + 144 - 64$

Paso 1.8

Simplifica $2224 + 144 - 64$ .

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Paso 1.8.1

Suma $2224$ y $144$ .

$36 {(y - 2)}^{2} - 64 {(x + 1)}^{2} = 2368 - 64$

Paso 1.8.2

Resta $64$ de $2368$ .

$36 {(y - 2)}^{2} - 64 {(x + 1)}^{2} = 2304$

Paso 1.9

Divide cada término por $2304$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{36 {(y - 2)}^{2}}{2304} - \frac{64 {(x + 1)}^{2}}{2304} = \frac{2304}{2304}$

Paso 1.10

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(y - 2)}^{2}}{64} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{36} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = 8$

$b = 6$

$k = 2$

$h = - 1$

Paso 4

El centro de una hipérbola sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(- 1, 2)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(8)}^{2} + {(6)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{64 + {(6)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{64 + 36}$

Paso 5.3.3

Suma $64$ y $36$ .

$\sqrt{100}$

Paso 5.3.4

Reescribe $100$ como $10^{2}$ .

$\sqrt{10^{2}}$

Paso 5.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$10$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una hipérbola puede obtenerse al sumar $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 1, 10)$

Paso 6.3

El segundo vértice de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $a$ de $k$ .

$(h, k - a)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 1, - 6)$

Paso 6.5

Los vértices de una hipérbola siguen la forma de $(h, k \pm a)$ . Las hipérbolas tienen dos vértices.

$(- 1, 10), (- 1, - 6)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 1, 12)$

Paso 7.3

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 1, - 8)$

Paso 7.5

Los focos de una hipérbola siguen la forma de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

$(- 1, 12), (- 1, - 8)$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(8)}^{2} + {(6)}^{2}}}{8}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{64 + 6^{2}}}{8}$

Paso 8.3.1.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{64 + 36}}{8}$

Paso 8.3.1.3

Suma $64$ y $36$ .

$\frac{\sqrt{100}}{8}$

Paso 8.3.1.4

Reescribe $100$ como $10^{2}$ .

$\frac{\sqrt{10^{2}}}{8}$

Paso 8.3.1.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{10}{8}$

Paso 8.3.2

Cancela el factor común de $10$ y $8$ .

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Paso 8.3.2.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$\frac{2 (5)}{8}$

Paso 8.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 4}$

Paso 8.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 4}$

Paso 8.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{4}$

Paso 9

Obtén el parámetro focal.

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Paso 9.1

Obtén el valor del parámetro focal de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Paso 9.2

Sustituye los valores de $b$ y $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ en la fórmula.

$\frac{6^{2}}{10}$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\frac{36}{10}$

Paso 9.3.2

Cancela el factor común de $36$ y $10$ .

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Paso 9.3.2.1

Factoriza $2$ de $36$ .

$\frac{2 (18)}{10}$

Paso 9.3.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 5}$

Paso 9.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 5}$

Paso 9.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{18}{5}$

Paso 10

Las asíntotas siguen la forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ porque esta hipérbola abre hacia arriba y hacia abajo.

$y = \pm \frac{4}{3} \cdot (x - (- 1)) + 2$

Paso 11

Simplifica para obtener la primera asíntota.

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Paso 11.1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - (- 1)) + 2$

Paso 11.2

Simplifica $\frac{4}{3} \cdot (x - (- 1)) + 2$ .

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{4}{3} \cdot (x + 1) + 2$

Paso 11.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{4}{3} x + \frac{4}{3} \cdot 1 + 2$

Paso 11.2.1.3

Combina $\frac{4}{3}$ y $x$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot 1 + 2$

Paso 11.2.1.4

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $1$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} + 2$

Paso 11.2.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 11.2.3

Combina $2$ y $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Paso 11.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4 + 2 \cdot 3}{3}$

Paso 11.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.5.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4 + 6}{3}$

Paso 11.2.5.2

Suma $4$ y $6$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{10}{3}$

Paso 12

Simplifica para obtener la segunda asíntota.

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Paso 12.1

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - (- 1)) + 2$

Paso 12.2

Simplifica $- \frac{4}{3} \cdot (x - (- 1)) + 2$ .

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Paso 12.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x + 1) + 2$

Paso 12.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot 1 + 2$

Paso 12.2.1.3

Combina $x$ y $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1 + 2$

Paso 12.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} + 2$

Paso 12.2.1.5

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$y = - \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3} + 2$

Paso 12.2.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 12.2.3

Combina $2$ y $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} - \frac{4}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Paso 12.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{- 4 + 2 \cdot 3}{3}$

Paso 12.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 12.2.5.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{- 4 + 6}{3}$

Paso 12.2.5.2

Suma $- 4$ y $6$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{2}{3}$

Paso 13

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{10}{3}, y = - \frac{4 x}{3} + \frac{2}{3}$

Paso 14

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una hipérbola.

Centro: $(- 1, 2)$

Vértices: $(- 1, 10), (- 1, - 6)$

Focos: $(- 1, 12), (- 1, - 8)$

Excentricidad: $\frac{5}{4}$

Parámetro focal: $\frac{18}{5}$

Asíntotas: $y = \frac{4 x}{3} + \frac{10}{3}$ , $y = - \frac{4 x}{3} + \frac{2}{3}$

Paso 15