Precálculo Ejemplos

$y^{2} - 4 y + 6 x - 8 = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Aísla $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.1.1

Resta $y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 y + 6 x - 8 = - y^{2}$

Paso 1.1.1.2

Suma $4 y$ a ambos lados de la ecuación.

$6 x - 8 = - y^{2} + 4 y$

Paso 1.1.1.3

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$6 x = - y^{2} + 4 y + 8$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $6 x = - y^{2} + 4 y + 8$ por $6$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $6 x = - y^{2} + 4 y + 8$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- y^{2}}{6} + \frac{4 y}{6} + \frac{8}{6}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- y^{2}}{6} + \frac{4 y}{6} + \frac{8}{6}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{6} + \frac{4 y}{6} + \frac{8}{6}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{y^{2}}{6} + \frac{4 y}{6} + \frac{8}{6}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Cancela el factor común de $4$ y $6$ .

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Paso 1.1.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $4 y$ .

$x = - \frac{y^{2}}{6} + \frac{2 (2 y)}{6} + \frac{8}{6}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.3.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$x = - \frac{y^{2}}{6} + \frac{2 (2 y)}{2 (3)} + \frac{8}{6}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$x = - \frac{y^{2}}{6} + \frac{2 (2 y)}{2 \cdot 3} + \frac{8}{6}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{y^{2}}{6} + \frac{2 y}{3} + \frac{8}{6}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Cancela el factor común de $8$ y $6$ .

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Paso 1.1.2.3.1.3.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$x = - \frac{y^{2}}{6} + \frac{2 y}{3} + \frac{2 (4)}{6}$

Paso 1.1.2.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.3.1.3.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$x = - \frac{y^{2}}{6} + \frac{2 y}{3} + \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3}$

Paso 1.1.2.3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$x = - \frac{y^{2}}{6} + \frac{2 y}{3} + \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3}$

Paso 1.1.2.3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{y^{2}}{6} + \frac{2 y}{3} + \frac{4}{3}$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $- \frac{y^{2}}{6} + \frac{2 y}{3} + \frac{4}{3}$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - \frac{1}{6}$

$b = \frac{2}{3}$

$c = \frac{4}{3}$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{2}{3}}{2 (- \frac{1}{6})}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{6})}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{6})}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- \frac{1}{6}}$

Paso 1.2.3.2.3

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{- \frac{1}{6}}$ .

$d = \frac{1}{3 (- \frac{1}{6})}$

Paso 1.2.3.2.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$d = \frac{1}{- 3 (\frac{1}{6})}$

Paso 1.2.3.2.5

Combina $- 3$ y $\frac{1}{6}$ .

$d = \frac{1}{\frac{- 3}{6}}$

Paso 1.2.3.2.6

Cancela el factor común de $- 3$ y $6$ .

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Paso 1.2.3.2.6.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$d = \frac{1}{\frac{3 (- 1)}{6}}$

Paso 1.2.3.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.6.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$d = \frac{1}{\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}}$

Paso 1.2.3.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{1}{\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}}$

Paso 1.2.3.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{1}{\frac{- 1}{2}}$

Paso 1.2.3.2.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = 1 (\frac{2}{- 1})$

Paso 1.2.3.2.8

Multiplica $\frac{2}{- 1}$ por $1$ .

$d = \frac{2}{- 1}$

Paso 1.2.3.2.9

Divide $2$ por $- 1$ .

$d = - 2$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{{(\frac{2}{3})}^{2}}{4 (- \frac{1}{6})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{2^{2}}{3^{2}}}{4 (- \frac{1}{6})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{4}{3^{2}}}{4 (- \frac{1}{6})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{4 (- \frac{1}{6})}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.4.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{- 4 (\frac{1}{6})}$

Paso 1.2.4.2.1.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{6}$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{- 4}{6}}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.1.3.1

Cancela el factor común de $- 4$ y $6$ .

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Paso 1.2.4.2.1.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{2 (- 2)}{6}}$

Paso 1.2.4.2.1.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.1.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}}$

Paso 1.2.4.2.1.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}}$

Paso 1.2.4.2.1.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{- 2}{3}}$

Paso 1.2.4.2.1.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = \frac{4}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{- \frac{2}{3}}$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = \frac{4}{3} - (\frac{4}{9} (- \frac{3}{2}))$

Paso 1.2.4.2.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.4.2.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{2}$ al numerador.

$e = \frac{4}{3} - (\frac{4}{9} \cdot \frac{- 3}{2})$

Paso 1.2.4.2.1.5.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$e = \frac{4}{3} - (\frac{2 (2)}{9} \cdot \frac{- 3}{2})$

Paso 1.2.4.2.1.5.3

Cancela el factor común.

$e = \frac{4}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{9} \cdot \frac{- 3}{2})$

Paso 1.2.4.2.1.5.4

Reescribe la expresión.

$e = \frac{4}{3} - (\frac{2}{9} \cdot - 3)$

Paso 1.2.4.2.1.6

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.4.2.1.6.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$e = \frac{4}{3} - (\frac{2}{3 (3)} \cdot - 3)$

Paso 1.2.4.2.1.6.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$e = \frac{4}{3} - (\frac{2}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot - 1))$

Paso 1.2.4.2.1.6.3

Cancela el factor común.

$e = \frac{4}{3} - (\frac{2}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot - 1))$

Paso 1.2.4.2.1.6.4

Reescribe la expresión.

$e = \frac{4}{3} - (\frac{2}{3} \cdot - 1)$

Paso 1.2.4.2.1.7

Combina $\frac{2}{3}$ y $- 1$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{2 \cdot - 1}{3}$

Paso 1.2.4.2.1.8

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{- 2}{3}$

Paso 1.2.4.2.1.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = \frac{4}{3} - - \frac{2}{3}$

Paso 1.2.4.2.1.10

Multiplica $- - \frac{2}{3}$ .

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Paso 1.2.4.2.1.10.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = \frac{4}{3} + 1 (\frac{2}{3})$

Paso 1.2.4.2.1.10.2

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$e = \frac{4}{3} + \frac{2}{3}$

Paso 1.2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{4 + 2}{3}$

Paso 1.2.4.2.3

Suma $4$ y $2$ .

$e = \frac{6}{3}$

Paso 1.2.4.2.4

Divide $6$ por $3$ .

$e = 2$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- \frac{1}{6} {(y - 2)}^{2} + 2$ .

$- \frac{1}{6} {(y - 2)}^{2} + 2$

Paso 1.3

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = - \frac{1}{6} \cdot {(y - 2)}^{2} + 2$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - \frac{1}{6}$

$h = 2$

$k = 2$

Paso 3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia la izquierda.

Abre hacia la izquierda

Paso 4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(2, 2)$

Paso 5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{6})}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 5.3.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{6})}$

Paso 5.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{6})}$

Paso 5.3.2

Combina $4$ y $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{6}}$

Paso 5.3.3

Cancela el factor común de $4$ y $6$ .

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$- \frac{1}{\frac{2 (2)}{6}}$

Paso 5.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}}$

Paso 5.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}}$

Paso 5.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{\frac{2}{3}}$

Paso 5.3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- (1 (\frac{3}{2}))$

Paso 5.3.5

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$- \frac{3}{2}$

Paso 6

Obtén el foco.

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Paso 6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada x $h$ si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$(h + p, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(\frac{1}{2}, 2)$

Paso 7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$y = 2$

Paso 8

Obtén la directriz.

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Paso 8.1

La directriz de una parábola es la recta vertical que se obtiene al restar $p$ de la coordenada x $h$ del vértice si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$x = h - p$

Paso 8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $h$ en la fórmula y simplifica.

$x = \frac{7}{2}$

Paso 9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia la izquierda

Vértice: $(2, 2)$

Foco: $(\frac{1}{2}, 2)$

Eje de simetría: $y = 2$

Directriz: $x = \frac{7}{2}$

Paso 10