Precálculo Ejemplos

$- 2 y^{2} + x - 4 y + 1 = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Suma $2 y^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$x - 4 y + 1 = 2 y^{2}$

Paso 1.1.2

Suma $4 y$ a ambos lados de la ecuación.

$x + 1 = 2 y^{2} + 4 y$

Paso 1.1.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = 2 y^{2} + 4 y - 1$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $2 y^{2} + 4 y - 1$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 2$

$b = 4$

$c = - 1$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (2)}$

Paso 1.2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Paso 1.2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{2}{2}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2}{2}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$d = 1$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 1 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 2}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Cancela el factor común de $4^{2}$ y $4$ .

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Paso 1.2.4.2.1.1.1

Factoriza $4$ de $4^{2}$ .

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 2}$

Paso 1.2.4.2.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.1.1.2.1

Factoriza $4$ de $4 \cdot 2$ .

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 (2)}$

Paso 1.2.4.2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 2}$

Paso 1.2.4.2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$e = - 1 - \frac{4}{2}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 1.2.4.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$e = - 1 - \frac{2 \cdot 2}{2}$

Paso 1.2.4.2.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$e = - 1 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Paso 1.2.4.2.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$e = - 1 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.2.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$e = - 1 - \frac{2}{1}$

Paso 1.2.4.2.1.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$e = - 1 - 1 \cdot 2$

Paso 1.2.4.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$e = - 1 - 2$

Paso 1.2.4.2.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$e = - 3$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $2 {(y + 1)}^{2} - 3$ .

$2 {(y + 1)}^{2} - 3$

Paso 1.3

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = 2 {(y + 1)}^{2} - 3$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = 2$

$h = - 3$

$k = - 1$

Paso 3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia la derecha.

Abre a la derecha

Paso 4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 3, - 1)$

Paso 5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

Paso 5.3

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{1}{8}$

Paso 6

Obtén el foco.

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Paso 6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada x $h$ si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$(h + p, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- \frac{23}{8}, - 1)$

Paso 7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$y = - 1$

Paso 8

Obtén la directriz.

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Paso 8.1

La directriz de una parábola es la recta vertical que se obtiene al restar $p$ de la coordenada x $h$ del vértice si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$x = h - p$

Paso 8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $h$ en la fórmula y simplifica.

$x = - \frac{25}{8}$

Paso 9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(- 3, - 1)$

Foco: $(- \frac{23}{8}, - 1)$

Eje de simetría: $y = - 1$

Directriz: $x = - \frac{25}{8}$

Paso 10