Precálculo Ejemplos

$(2, \frac{5 π}{4})$

Paso 1

Convierte de coordenadas rectangulares $(x, y)$ a coordenadas polares $(r, θ)$ con las fórmulas de conversión.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 2

Reemplaza $x$ y $y$ con los valores reales.

$r = \sqrt{{(2)}^{2} + {(\frac{5 π}{4})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3

Obtén la magnitud de la coordenada polar.

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Paso 3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{4 + {(\frac{5 π}{4})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{5 π}{4}$ .

$r = \sqrt{4 + \frac{{(5 π)}^{2}}{4^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2.2

Aplica la regla del producto a $5 π$ .

$r = \sqrt{4 + \frac{5^{2} π^{2}}{4^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{4 + \frac{5^{2} π^{2}}{4^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.3

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{4 + \frac{25 π^{2}}{4^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{4 + \frac{25 π^{2}}{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.5

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{16}{16}$ .

$r = \sqrt{4 \cdot \frac{16}{16} + \frac{25 π^{2}}{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.6

Combina $4$ y $\frac{16}{16}$ .

$r = \sqrt{\frac{4 \cdot 16}{16} + \frac{25 π^{2}}{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.7

Simplifica la expresión.

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Paso 3.7.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$r = \sqrt{\frac{4 \cdot 16 + 25 π^{2}}{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.7.2

Multiplica $4$ por $16$ .

$r = \sqrt{\frac{64 + 25 π^{2}}{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{64 + 25 π^{2}}{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.8

Reescribe $\sqrt{\frac{64 + 25 π^{2}}{16}}$ como $\frac{\sqrt{64 + 25 π^{2}}}{\sqrt{16}}$ .

$r = \frac{\sqrt{64 + 25 π^{2}}}{\sqrt{16}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.9

Simplifica el denominador.

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Paso 3.9.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$r = \frac{\sqrt{64 + 25 π^{2}}}{\sqrt{4^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.9.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$r = \frac{\sqrt{64 + 25 π^{2}}}{4}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{64 + 25 π^{2}}}{4}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{64 + 25 π^{2}}}{4}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 4

Reemplaza $x$ y $y$ con los valores reales.

$r = \frac{\sqrt{64 + 25 π^{2}}}{4}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{\frac{5 π}{4}}{2})$

Paso 5

La inversa de la tangente de $\frac{5 π}{8}$ es $θ = 63.01044615 °$ .

$r = \frac{\sqrt{64 + 25 π^{2}}}{4}$

$θ = 63.01044615 °$

Paso 6

Este es el resultado de la conversión a coordenadas polares en la forma $(r, θ)$ .

$(\frac{\sqrt{64 + 25 π^{2}}}{4}, 63.01044615 °)$