Precálculo Ejemplos

$3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 x - y = 0$

Paso 1

Divide ambos lados de la ecuación por $3$ .

$x^{2} + y^{2} + 2 x - \frac{y}{3} = 0$

Paso 2

Completa el cuadrado de $x^{2} + 2 x$ .

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Paso 2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

Paso 2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.2.2

Reescribe la expresión.

$d = 1$

Paso 2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Paso 2.4.2.1.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.4.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Paso 2.4.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Paso 2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e = 0 - 1$

Paso 2.4.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$e = - 1$

Paso 2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x + 1)}^{2} - 1$ .

${(x + 1)}^{2} - 1$

Paso 3

Sustituye ${(x + 1)}^{2} - 1$ por $x^{2} + 2 x$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} + 2 x - \frac{y}{3} = 0$ .

${(x + 1)}^{2} - 1 + y^{2} - \frac{y}{3} = 0$

Paso 4

Mueve $- 1$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $1$ a ambos lados.

${(x + 1)}^{2} + y^{2} - \frac{y}{3} = 0 + 1$

Paso 5

Completa el cuadrado de $y^{2} - \frac{y}{3}$ .

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Paso 5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - \frac{1}{3}$

$c = 0$

Paso 5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{1}{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 1$ y $1$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$d = \frac{- 1 (1) \frac{1}{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.2.1.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{- 1 \cdot 1 \frac{1}{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.2.1.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- \frac{1}{3}}{2}$

Paso 5.3.2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 5.3.2.3

Multiplica $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 5.3.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$d = - \frac{1}{2 \cdot 3}$

Paso 5.3.2.3.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$d = - \frac{1}{6}$

Paso 5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- \frac{1}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{3}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 5.4.2.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{1 {(\frac{1}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 5.4.2.1.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$e = 0 - \frac{1 \frac{1^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Paso 5.4.2.1.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$e = 0 - \frac{1 \frac{1}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Paso 5.4.2.1.1.5

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{1 (\frac{1}{9})}{4 \cdot 1}$

Paso 5.4.2.1.1.6

Multiplica $\frac{1}{9}$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1}{9}}{4 \cdot 1}$

Paso 5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1}{9}}{4}$

Paso 5.4.2.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = 0 - (\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Paso 5.4.2.1.4

Multiplica $\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Paso 5.4.2.1.4.1

Multiplica $\frac{1}{9}$ por $\frac{1}{4}$ .

$e = 0 - \frac{1}{9 \cdot 4}$

Paso 5.4.2.1.4.2

Multiplica $9$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{1}{36}$

Paso 5.4.2.2

Resta $\frac{1}{36}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{36}$

Paso 5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(y - \frac{1}{6})}^{2} - \frac{1}{36}$ .

${(y - \frac{1}{6})}^{2} - \frac{1}{36}$

Paso 6

Sustituye ${(y - \frac{1}{6})}^{2} - \frac{1}{36}$ por $y^{2} - \frac{y}{3}$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} + 2 x - \frac{y}{3} = 0$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{6})}^{2} - \frac{1}{36} = 0 + 1$

Paso 7

Mueve $- \frac{1}{36}$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $\frac{1}{36}$ a ambos lados.

${(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{6})}^{2} = 0 + 1 + \frac{1}{36}$

Paso 8

Simplifica $0 + 1 + \frac{1}{36}$ .

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Paso 8.1

Suma $0$ y $1$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{6})}^{2} = 1 + \frac{1}{36}$

Paso 8.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

${(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{6})}^{2} = \frac{36}{36} + \frac{1}{36}$

Paso 8.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{6})}^{2} = \frac{36 + 1}{36}$

Paso 8.4

Suma $36$ y $1$ .

${(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{1}{6})}^{2} = \frac{37}{36}$

Paso 9

Esta es la forma de un círculo. Usa esta forma para determinar el centro y el radio del círculo.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Paso 10

Haz coincidir los valores de este círculo con los de la ecuación ordinaria. La variable $r$ representa el radio del círculo, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$r = \frac{\sqrt{37}}{6}$

$h = - 1$

$k = \frac{1}{6}$

Paso 11

El centro del círculo se ubica en $(h, k)$ .

Centro: $(- 1, \frac{1}{6})$

Paso 12

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de un círculo.

Centro: $(- 1, \frac{1}{6})$

Radio: $\frac{\sqrt{37}}{6}$

Paso 13