Precálculo Ejemplos

$\ln (\frac{x}{x - 4}) + \ln (\frac{x + 4}{x}) - \ln (x^{2} - 16)$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (\frac{x}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x}) - \ln (x^{2} - 16)$

Paso 2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x}}{x^{2} - 16})$

Paso 3

Multiplica $\frac{x}{x - 4}$ por $\frac{x + 4}{x}$ .

$\ln (\frac{\frac{x (x + 4)}{(x - 4) x}}{x^{2} - 16})$

Paso 4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\ln (\frac{\frac{x (x + 4)}{(x - 4) x}}{x^{2} - 4^{2}})$

Paso 4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$\ln (\frac{\frac{x (x + 4)}{(x - 4) x}}{(x + 4) (x - 4)})$

Paso 5

Reduce la expresión $\frac{x (x + 4)}{(x - 4) x}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.1

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{\frac{x (x + 4)}{(x - 4) x}}{(x + 4) (x - 4)})$

Paso 5.2

Reescribe la expresión.

$\ln (\frac{\frac{x + 4}{x - 4}}{(x + 4) (x - 4)})$

Paso 6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\ln (\frac{x + 4}{x - 4} \cdot \frac{1}{(x + 4) (x - 4)})$

Paso 7

Cancela el factor común de $x + 4$ .

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Paso 7.1

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{x + 4}{x - 4} \cdot \frac{1}{(x + 4) (x - 4)})$

Paso 7.2

Reescribe la expresión.

$\ln (\frac{1}{x - 4} \cdot \frac{1}{x - 4})$

Paso 8

Multiplica $\frac{1}{x - 4}$ por $\frac{1}{x - 4}$ .

$\ln (\frac{1}{(x - 4) (x - 4)})$

Paso 9

Eleva $x - 4$ a la potencia de $1$ .

$\ln (\frac{1}{{(x - 4)}^{1} (x - 4)})$

Paso 10

Eleva $x - 4$ a la potencia de $1$ .

$\ln (\frac{1}{{(x - 4)}^{1} {(x - 4)}^{1}})$

Paso 11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\ln (\frac{1}{{(x - 4)}^{1 + 1}})$

Paso 12

Suma $1$ y $1$ .

$\ln (\frac{1}{{(x - 4)}^{2}})$