Precálculo Ejemplos

${(\sin (x) - \cos (x))}^{2}$

Paso 1

Usa el teorema de expansión binomial para obtener cada término. El teorema del binomio establece ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{2} \frac{2!}{(2 - k)! k!} \cdot {(\sin (x))}^{2 - k} \cdot {(- \cos (x))}^{k}$

Paso 2

Expande la suma.

$\frac{2!}{(2 - 0)! 0!} \cdot {(\sin (x))}^{2 - 0} \cdot {(- \cos (x))}^{0} + \frac{2!}{(2 - 1)! 1!} \cdot {(\sin (x))}^{2 - 1} \cdot {(- \cos (x))}^{1} + \frac{2!}{(2 - 2)! 2!} \cdot {(\sin (x))}^{2 - 2} \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Paso 3

Simplifica los exponentes para cada término de la expansión.

$1 \cdot \sin^{2} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{0} + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{1} + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Paso 4

Simplifica el resultado del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica los términos.

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Paso 4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1.1

Multiplica $\sin^{2} (x)$ por $1$ .

$\sin^{2} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{0} + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{1} + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Paso 4.1.1.2

Aplica la regla del producto a $- \cos (x)$ .

$\sin^{2} (x) \cdot ({(- 1)}^{0} \cos^{0} (x)) + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{1} + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Paso 4.1.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

${(- 1)}^{0} \sin^{2} (x) \cos^{0} (x) + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{1} + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Paso 4.1.1.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$1 \sin^{2} (x) \cos^{0} (x) + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{1} + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Paso 4.1.1.5

Multiplica $\sin^{2} (x)$ por $1$ .

$\sin^{2} (x) \cos^{0} (x) + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{1} + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Paso 4.1.1.6

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\sin^{2} (x) \cdot 1 + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{1} + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Paso 4.1.1.7

Multiplica $\sin^{2} (x)$ por $1$ .

$\sin^{2} (x) + 2 \cdot \sin^{1} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{1} + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Paso 4.1.1.8

Simplifica.

$\sin^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cdot {(- \cos (x))}^{1} + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Paso 4.1.1.9

Simplifica.

$\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) \cdot (- \cos (x)) + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Paso 4.1.1.10

Reordena $2 \sin (x)$ y $- \cos (x)$ .

$\sin^{2} (x) - \cos (x) \cdot (2 \sin (x)) + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Paso 4.1.1.11

Agrega paréntesis.

$\sin^{2} (x) - (\cos (x) \cdot (2 \sin (x))) + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Paso 4.1.1.12

Reordena $\cos (x)$ y $2 \sin (x)$ .

$\sin^{2} (x) - (2 \sin (x) \cdot \cos (x)) + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Paso 4.1.1.13

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$\sin^{2} (x) - \sin (2 x) + 1 \cdot \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Paso 4.1.1.14

Multiplica $\sin^{0} (x)$ por $1$ .

$\sin^{2} (x) - \sin (2 x) + \sin^{0} (x) \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Paso 4.1.1.15

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\sin^{2} (x) - \sin (2 x) + 1 \cdot {(- \cos (x))}^{2}$

Paso 4.1.1.16

Multiplica ${(- \cos (x))}^{2}$ por $1$ .

$\sin^{2} (x) - \sin (2 x) + {(- \cos (x))}^{2}$

Paso 4.1.1.17

Aplica la regla del producto a $- \cos (x)$ .

$\sin^{2} (x) - \sin (2 x) + {(- 1)}^{2} \cos^{2} (x)$

Paso 4.1.1.18

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\sin^{2} (x) - \sin (2 x) + 1 \cos^{2} (x)$

Paso 4.1.1.19

Multiplica $\cos^{2} (x)$ por $1$ .

$\sin^{2} (x) - \sin (2 x) + \cos^{2} (x)$

Paso 4.1.2

Mueve $\cos^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - \sin (2 x)$

Paso 4.2

Aplica la identidad pitagórica.

$1 - \sin (2 x)$