Precálculo Ejemplos

$f (x) = 3 {(x + 2)}^{2} - 7$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = 3$

$h = - 2$

$k = - 7$

Paso 1.2

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 1.3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 2, - 7)$

Paso 1.4

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.4.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.4.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 3}$

Paso 1.4.3

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{1}{12}$

Paso 1.5

Obtén el foco.

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Paso 1.5.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.5.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 2, - \frac{83}{12})$

Paso 1.6

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = - 2$

Paso 1.7

Obtén la directriz.

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Paso 1.7.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.7.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - \frac{85}{12}$

Paso 1.8

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- 2, - 7)$

Foco: $(- 2, - \frac{83}{12})$

Eje de simetría: $x = - 2$

Directriz: $y = - \frac{85}{12}$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- 2, - 7)$

Foco: $(- 2, - \frac{83}{12})$

Eje de simetría: $x = - 2$

Directriz: $y = - \frac{85}{12}$

Paso 2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f (- 3) = 3 {(- 3)}^{2} + 12 (- 3) + 5$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f (- 3) = 3 \cdot 9 + 12 (- 3) + 5$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $3$ por $9$ .

$f (- 3) = 27 + 12 (- 3) + 5$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $12$ por $- 3$ .

$f (- 3) = 27 - 36 + 5$

Paso 2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.2.2.1

Resta $36$ de $27$ .

$f (- 3) = - 9 + 5$

Paso 2.2.2.2

Suma $- 9$ y $5$ .

$f (- 3) = - 4$

Paso 2.2.3

La respuesta final es $- 4$ .

$- 4$

Paso 2.3

El valor de $y$ en $x = - 3$ es $- 4$ .

$y = - 4$

Paso 2.4

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f (- 4) = 3 {(- 4)}^{2} + 12 (- 4) + 5$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$f (- 4) = 3 \cdot 16 + 12 (- 4) + 5$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $3$ por $16$ .

$f (- 4) = 48 + 12 (- 4) + 5$

Paso 2.5.1.3

Multiplica $12$ por $- 4$ .

$f (- 4) = 48 - 48 + 5$

Paso 2.5.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.5.2.1

Resta $48$ de $48$ .

$f (- 4) = 0 + 5$

Paso 2.5.2.2

Suma $0$ y $5$ .

$f (- 4) = 5$

Paso 2.5.3

La respuesta final es $5$ .

$5$

Paso 2.6

El valor de $y$ en $x = - 4$ es $5$ .

$y = 5$

Paso 2.7

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = 3 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1) + 5$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = 3 \cdot 1 + 12 (- 1) + 5$

Paso 2.8.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$f (- 1) = 3 + 12 (- 1) + 5$

Paso 2.8.1.3

Multiplica $12$ por $- 1$ .

$f (- 1) = 3 - 12 + 5$

Paso 2.8.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.8.2.1

Resta $12$ de $3$ .

$f (- 1) = - 9 + 5$

Paso 2.8.2.2

Suma $- 9$ y $5$ .

$f (- 1) = - 4$

Paso 2.8.3

La respuesta final es $- 4$ .

$- 4$

Paso 2.9

El valor de $y$ en $x = - 1$ es $- 4$ .

$y = - 4$

Paso 2.10

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = 3 {(0)}^{2} + 12 (0) + 5$

Paso 2.11

Simplifica el resultado.

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Paso 2.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 + 12 (0) + 5$

Paso 2.11.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 12 (0) + 5$

Paso 2.11.1.3

Multiplica $12$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 5$

Paso 2.11.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.11.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 + 5$

Paso 2.11.2.2

Suma $0$ y $5$ .

$f (0) = 5$

Paso 2.11.3

La respuesta final es $5$ .

$5$

Paso 2.12

El valor de $y$ en $x = 0$ es $5$ .

$y = 5$

Paso 2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 5 \\ - 3 & - 4 \\ - 2 & - 7 \\ - 1 & - 4 \\ 0 & 5 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- 2, - 7)$

Foco: $(- 2, - \frac{83}{12})$

Eje de simetría: $x = - 2$

Directriz: $y = - \frac{85}{12}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 5 \\ - 3 & - 4 \\ - 2 & - 7 \\ - 1 & - 4 \\ 0 & 5 \end{array}$

Paso 4