Precálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} + 18 x$

Paso 1

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1.1

Completa el cuadrado de $x^{2} + 18 x$ .

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Paso 1.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = 18$

$c = 0$

Paso 1.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{18}{2 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.3.2

Cancela el factor común de $18$ y $2$ .

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Paso 1.1.1.3.2.1

Factoriza $2$ de $18$ .

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.1.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 (1)}$

Paso 1.1.1.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{9}{1}$

Paso 1.1.1.3.2.2.4

Divide $9$ por $1$ .

$d = 9$

Paso 1.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{18^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.4.2.1.1

Eleva $18$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot 1}$

Paso 1.1.1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{324}{4}$

Paso 1.1.1.4.2.1.3

Divide $324$ por $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Paso 1.1.1.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $81$ .

$e = 0 - 81$

Paso 1.1.1.4.2.2

Resta $81$ de $0$ .

$e = - 81$

Paso 1.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x + 9)}^{2} - 81$ .

${(x + 9)}^{2} - 81$

Paso 1.1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = {(x + 9)}^{2} - 81$

Paso 1.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = 1$

$h = - 9$

$k = - 81$

Paso 1.3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 1.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 9, - 81)$

Paso 1.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 1.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 1.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 1.5.3

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 1.5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Paso 1.5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4}$

Paso 1.6

Obtén el foco.

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Paso 1.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 1.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 9, - \frac{323}{4})$

Paso 1.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = - 9$

Paso 1.8

Obtén la directriz.

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Paso 1.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 1.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - \frac{325}{4}$

Paso 1.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- 9, - 81)$

Foco: $(- 9, - \frac{323}{4})$

Eje de simetría: $x = - 9$

Directriz: $y = - \frac{325}{4}$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- 9, - 81)$

Foco: $(- 9, - \frac{323}{4})$

Eje de simetría: $x = - 9$

Directriz: $y = - \frac{325}{4}$

Paso 2

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 10$ en la expresión.

$f (- 10) = {(- 10)}^{2} + 18 (- 10)$

Paso 2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Eleva $- 10$ a la potencia de $2$ .

$f (- 10) = 100 + 18 (- 10)$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $18$ por $- 10$ .

$f (- 10) = 100 - 180$

Paso 2.2.2

Resta $180$ de $100$ .

$f (- 10) = - 80$

Paso 2.2.3

La respuesta final es $- 80$ .

$- 80$

Paso 2.3

El valor de $y$ en $x = - 10$ es $- 80$ .

$y = - 80$

Paso 2.4

Reemplaza la variable $x$ con $- 11$ en la expresión.

$f (- 11) = {(- 11)}^{2} + 18 (- 11)$

Paso 2.5

Simplifica el resultado.

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Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1.1

Eleva $- 11$ a la potencia de $2$ .

$f (- 11) = 121 + 18 (- 11)$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $18$ por $- 11$ .

$f (- 11) = 121 - 198$

Paso 2.5.2

Resta $198$ de $121$ .

$f (- 11) = - 77$

Paso 2.5.3

La respuesta final es $- 77$ .

$- 77$

Paso 2.6

El valor de $y$ en $x = - 11$ es $- 77$ .

$y = - 77$

Paso 2.7

Reemplaza la variable $x$ con $- 8$ en la expresión.

$f (- 8) = {(- 8)}^{2} + 18 (- 8)$

Paso 2.8

Simplifica el resultado.

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Paso 2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$f (- 8) = 64 + 18 (- 8)$

Paso 2.8.1.2

Multiplica $18$ por $- 8$ .

$f (- 8) = 64 - 144$

Paso 2.8.2

Resta $144$ de $64$ .

$f (- 8) = - 80$

Paso 2.8.3

La respuesta final es $- 80$ .

$- 80$

Paso 2.9

El valor de $y$ en $x = - 8$ es $- 80$ .

$y = - 80$

Paso 2.10

Reemplaza la variable $x$ con $- 7$ en la expresión.

$f (- 7) = {(- 7)}^{2} + 18 (- 7)$

Paso 2.11

Simplifica el resultado.

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Paso 2.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.1.1

Eleva $- 7$ a la potencia de $2$ .

$f (- 7) = 49 + 18 (- 7)$

Paso 2.11.1.2

Multiplica $18$ por $- 7$ .

$f (- 7) = 49 - 126$

Paso 2.11.2

Resta $126$ de $49$ .

$f (- 7) = - 77$

Paso 2.11.3

La respuesta final es $- 77$ .

$- 77$

Paso 2.12

El valor de $y$ en $x = - 7$ es $- 77$ .

$y = - 77$

Paso 2.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 11 & - 77 \\ - 10 & - 80 \\ - 9 & - 81 \\ - 8 & - 80 \\ - 7 & - 77 \end{array}$

Paso 3

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(- 9, - 81)$

Foco: $(- 9, - \frac{323}{4})$

Eje de simetría: $x = - 9$

Directriz: $y = - \frac{325}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 11 & - 77 \\ - 10 & - 80 \\ - 9 & - 81 \\ - 8 & - 80 \\ - 7 & - 77 \end{array}$

Paso 4