Precálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{2} x^{2} - x - 6$

Paso 1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} - x - 6$

Paso 2

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 2.1.1

Completa el cuadrado de $\frac{x^{2}}{2} - x - 6$ .

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Paso 2.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = - 1$

$c = - 6$

Paso 2.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 (\frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{- 1}{\frac{2}{2}}$

Paso 2.1.1.3.2.2

Divide $2$ por $2$ .

$d = \frac{- 1}{1}$

Paso 2.1.1.3.2.3

Divide $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Paso 2.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 6 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.4.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$e = - 6 - \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Paso 2.1.1.4.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$e = - 6 - \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Paso 2.1.1.4.2.1.3

Divide $4$ por $2$ .

$e = - 6 - \frac{1}{2}$

Paso 2.1.1.4.2.2

Para escribir $- 6$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$e = - 6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 2.1.1.4.2.3

Combina $- 6$ y $\frac{2}{2}$ .

$e = \frac{- 6 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 2.1.1.4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{- 6 \cdot 2 - 1}{2}$

Paso 2.1.1.4.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.1.4.2.5.1

Multiplica $- 6$ por $2$ .

$e = \frac{- 12 - 1}{2}$

Paso 2.1.1.4.2.5.2

Resta $1$ de $- 12$ .

$e = \frac{- 13}{2}$

Paso 2.1.1.4.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = - \frac{13}{2}$

Paso 2.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} - \frac{13}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} - \frac{13}{2}$

Paso 2.1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = \frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{2} - \frac{13}{2}$

Paso 2.2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = 1$

$k = - \frac{13}{2}$

Paso 2.3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 2.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(1, - \frac{13}{2})$

Paso 2.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 2.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 2.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 2.5.3

Simplifica.

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Paso 2.5.3.1

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Paso 2.5.3.2

Divide $4$ por $2$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 2.6

Obtén el foco.

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Paso 2.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 2.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(1, - 6)$

Paso 2.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = 1$

Paso 2.8

Obtén la directriz.

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Paso 2.8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 2.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - 7$

Paso 2.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(1, - \frac{13}{2})$

Foco: $(1, - 6)$

Eje de simetría: $x = 1$

Directriz: $y = - 7$

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(1, - \frac{13}{2})$

Foco: $(1, - 6)$

Eje de simetría: $x = 1$

Directriz: $y = - 7$

Paso 3

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} - (0) - 6$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Obtén el denominador común

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Paso 3.2.1.1

Escribe $- (0)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{- (0)}{1} - 6$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $\frac{- (0)}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{- (0)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

Paso 3.2.1.3

Multiplica $\frac{- (0)}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{0 \cdot 2}{2} - 6$

Paso 3.2.1.4

Escribe $- 6$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{0 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

Paso 3.2.1.5

Multiplica $\frac{- 6}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{0 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 3.2.1.6

Multiplica $\frac{- 6}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + \frac{0 \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

Paso 3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2} + 0 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Paso 3.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Paso 3.2.3.2

Multiplica $- (0) \cdot 2$ .

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Paso 3.2.3.2.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Paso 3.2.3.2.2

Multiplica $0$ por $2$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 - 6 \cdot 2}{2}$

Paso 3.2.3.3

Multiplica $- 6$ por $2$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 - 12}{2}$

Paso 3.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.4.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = \frac{0 - 12}{2}$

Paso 3.2.4.2

Resta $12$ de $0$ .

$f (0) = \frac{- 12}{2}$

Paso 3.2.4.3

Divide $- 12$ por $2$ .

$f (0) = - 6$

Paso 3.2.5

La respuesta final es $- 6$ .

$- 6$

Paso 3.3

El valor de $y$ en $x = 0$ es $- 6$ .

$y = - 6$

Paso 3.4

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} - (- 1) - 6$

Paso 3.5

Simplifica el resultado.

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Paso 3.5.1

Obtén el denominador común

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Paso 3.5.1.1

Escribe $- (- 1)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{- (- 1)}{1} - 6$

Paso 3.5.1.2

Multiplica $\frac{- (- 1)}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{- (- 1)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

Paso 3.5.1.3

Multiplica $\frac{- (- 1)}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{1 \cdot 2}{2} - 6$

Paso 3.5.1.4

Escribe $- 6$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

Paso 3.5.1.5

Multiplica $\frac{- 6}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 3.5.1.6

Multiplica $\frac{- 6}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

Paso 3.5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2} + 1 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Paso 3.5.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.3.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 1 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Paso 3.5.3.2

Multiplica $- (- 1) \cdot 2$ .

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Paso 3.5.3.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 1 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Paso 3.5.3.2.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Paso 3.5.3.3

Multiplica $- 6$ por $2$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 2 - 12}{2}$

Paso 3.5.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.4.1

Suma $1$ y $2$ .

$f (- 1) = \frac{3 - 12}{2}$

Paso 3.5.4.2

Resta $12$ de $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 9}{2}$

Paso 3.5.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 1) = - \frac{9}{2}$

Paso 3.5.5

La respuesta final es $- \frac{9}{2}$ .

$- \frac{9}{2}$

Paso 3.6

El valor de $y$ en $x = - 1$ es $- \frac{9}{2}$ .

$y = - \frac{9}{2}$

Paso 3.7

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} - (2) - 6$

Paso 3.8

Simplifica el resultado.

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Paso 3.8.1

Obtén el denominador común

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Paso 3.8.1.1

Escribe $- (2)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- (2)}{1} - 6$

Paso 3.8.1.2

Multiplica $\frac{- (2)}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- (2)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

Paso 3.8.1.3

Multiplica $\frac{- (2)}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - 6$

Paso 3.8.1.4

Escribe $- 6$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

Paso 3.8.1.5

Multiplica $\frac{- 6}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 3.8.1.6

Multiplica $\frac{- 6}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

Paso 3.8.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (2) = \frac{{(2)}^{2} - 2 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Paso 3.8.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.8.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (2) = \frac{4 - 2 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Paso 3.8.3.2

Multiplica $- (2) \cdot 2$ .

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Paso 3.8.3.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (2) = \frac{4 - 2 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Paso 3.8.3.2.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$f (2) = \frac{4 - 4 - 6 \cdot 2}{2}$

Paso 3.8.3.3

Multiplica $- 6$ por $2$ .

$f (2) = \frac{4 - 4 - 12}{2}$

Paso 3.8.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.8.4.1

Resta $4$ de $4$ .

$f (2) = \frac{0 - 12}{2}$

Paso 3.8.4.2

Resta $12$ de $0$ .

$f (2) = \frac{- 12}{2}$

Paso 3.8.4.3

Divide $- 12$ por $2$ .

$f (2) = - 6$

Paso 3.8.5

La respuesta final es $- 6$ .

$- 6$

Paso 3.9

El valor de $y$ en $x = 2$ es $- 6$ .

$y = - 6$

Paso 3.10

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} - (4) - 6$

Paso 3.11

Simplifica el resultado.

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Paso 3.11.1

Obtén el denominador común

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Paso 3.11.1.1

Escribe $- (4)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- (4)}{1} - 6$

Paso 3.11.1.2

Multiplica $\frac{- (4)}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- (4)}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

Paso 3.11.1.3

Multiplica $\frac{- (4)}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2} - 6$

Paso 3.11.1.4

Escribe $- 6$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

Paso 3.11.1.5

Multiplica $\frac{- 6}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 3.11.1.6

Multiplica $\frac{- 6}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

Paso 3.11.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (4) = \frac{{(4)}^{2} - 4 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Paso 3.11.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.11.3.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f (4) = \frac{16 - 4 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Paso 3.11.3.2

Multiplica $- (4) \cdot 2$ .

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Paso 3.11.3.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f (4) = \frac{16 - 4 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Paso 3.11.3.2.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$f (4) = \frac{16 - 8 - 6 \cdot 2}{2}$

Paso 3.11.3.3

Multiplica $- 6$ por $2$ .

$f (4) = \frac{16 - 8 - 12}{2}$

Paso 3.11.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.11.4.1

Resta $8$ de $16$ .

$f (4) = \frac{8 - 12}{2}$

Paso 3.11.4.2

Resta $12$ de $8$ .

$f (4) = \frac{- 4}{2}$

Paso 3.11.4.3

Divide $- 4$ por $2$ .

$f (4) = - 2$

Paso 3.11.5

La respuesta final es $- 2$ .

$- 2$

Paso 3.12

El valor de $y$ en $x = 4$ es $- 2$ .

$y = - 2$

Paso 3.13

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - \frac{9}{2} \\ 0 & - 6 \\ 1 & - \frac{13}{2} \\ 2 & - 6 \\ 4 & - 2 \end{array}$

Paso 4

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia arriba

Vértice: $(1, - \frac{13}{2})$

Foco: $(1, - 6)$

Eje de simetría: $x = 1$

Directriz: $y = - 7$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - \frac{9}{2} \\ 0 & - 6 \\ 1 & - \frac{13}{2} \\ 2 & - 6 \\ 4 & - 2 \end{array}$

Paso 5