Precálculo Ejemplos

${(2 x - 3 y)}^{3}$

Paso 1

El triángulo de Pascal se puede visualizar de la siguiente manera:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

El triángulo puede usarse para calcular los coeficientes de la expansión de ${(a + b)}^{n}$ al tomar el exponente $n$ y sumar $1$ . Los coeficientes se corresponderán con la línea $n + 1$ del triángulo. Para ${(2 x - 3 y)}^{3}$ , $n = 3$ de modo que los coeficientes de la expansión se corresponderán con la línea $4$ .

Paso 2

La expansión sigue la regla ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Los valores de los coeficientes, desde el triángulo, son $1 - 3 - 3 - 1$ .

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

Paso 3

Sustituye los valores reales de $a$ , $2 x$ y $b$ en la expresión $- 3 y$ .

$1 {(2 x)}^{3} {(- 3 y)}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Multiplica ${(2 x)}^{3}$ por $1$ .

${(2 x)}^{3} {(- 3 y)}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Paso 4.2

Aplica la regla del producto a $2 x$ .

$2^{3} x^{3} {(- 3 y)}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Paso 4.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$8 x^{3} {(- 3 y)}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Paso 4.4

Aplica la regla del producto a $- 3 y$ .

$8 x^{3} ({(- 3)}^{0} y^{0}) + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Paso 4.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$8 \cdot {(- 3)}^{0} x^{3} y^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Paso 4.6

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$8 \cdot 1 x^{3} y^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Paso 4.7

Multiplica $8$ por $1$ .

$8 x^{3} y^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Paso 4.8

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$8 x^{3} \cdot 1 + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Paso 4.9

Multiplica $8$ por $1$ .

$8 x^{3} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Paso 4.10

Aplica la regla del producto a $2 x$ .

$8 x^{3} + 3 (2^{2} x^{2}) {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Paso 4.11

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$8 x^{3} + 3 (4 x^{2}) {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Paso 4.12

Multiplica $4$ por $3$ .

$8 x^{3} + 12 x^{2} {(- 3 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Paso 4.13

Simplifica.

$8 x^{3} + 12 x^{2} (- 3 y) + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Paso 4.14

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$8 x^{3} + 12 \cdot - 3 x^{2} y + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Paso 4.15

Multiplica $12$ por $- 3$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 3 {(2 x)}^{1} {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Paso 4.16

Simplifica.

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 3 (2 x) {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Paso 4.17

Multiplica $2$ por $3$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 6 x {(- 3 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Paso 4.18

Aplica la regla del producto a $- 3 y$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 6 x ({(- 3)}^{2} y^{2}) + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Paso 4.19

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 6 \cdot {(- 3)}^{2} x y^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Paso 4.20

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 6 \cdot 9 x y^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Paso 4.21

Multiplica $6$ por $9$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Paso 4.22

Multiplica ${(2 x)}^{0}$ por $1$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + {(2 x)}^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Paso 4.23

Aplica la regla del producto a $2 x$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + 2^{0} x^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Paso 4.24

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + 1 x^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Paso 4.25

Multiplica $x^{0}$ por $1$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + x^{0} {(- 3 y)}^{3}$

Paso 4.26

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + 1 {(- 3 y)}^{3}$

Paso 4.27

Multiplica ${(- 3 y)}^{3}$ por $1$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + {(- 3 y)}^{3}$

Paso 4.28

Aplica la regla del producto a $- 3 y$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + {(- 3)}^{3} y^{3}$

Paso 4.29

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$8 x^{3} - 36 x^{2} y + 54 x y^{2} - 27 y^{3}$