Precálculo Ejemplos

$y^{2} = - \frac{1}{4} x$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $- \frac{1}{4} x = y^{2}$ .

$- \frac{1}{4} x = y^{2}$

Paso 2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 4$ .

$- 4 (- \frac{1}{4} x) = - 4 y^{2}$

Paso 3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Simplifica $- 4 (- \frac{1}{4} x)$ .

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Paso 3.1.1

Combina $x$ y $\frac{1}{4}$ .

$- 4 (- \frac{x}{4}) = - 4 y^{2}$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x}{4}$ al numerador.

$- 4 \frac{- x}{4} = - 4 y^{2}$

Paso 3.1.2.2

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{- x}{4} = - 4 y^{2}$

Paso 3.1.2.3

Cancela el factor común.

$4 \cdot - 1 \frac{- x}{4} = - 4 y^{2}$

Paso 3.1.2.4

Reescribe la expresión.

$- - x = - 4 y^{2}$

Paso 3.1.3

Multiplica.

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Paso 3.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 x = - 4 y^{2}$

Paso 3.1.3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = - 4 y^{2}$

Paso 4

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 4.1.1

Completa el cuadrado de $- 4 y^{2}$ .

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Paso 4.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 4$

$b = 0$

$c = 0$

Paso 4.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 4.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 4.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 4}$

Paso 4.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 4.1.1.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 4}$

Paso 4.1.1.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.1.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (- 4)}$

Paso 4.1.1.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot - 4}$

Paso 4.1.1.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{0}{- 4}$

Paso 4.1.1.3.2.2

Cancela el factor común de $0$ y $- 4$ .

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Paso 4.1.1.3.2.2.1

Factoriza $4$ de $0$ .

$d = \frac{4 (0)}{- 4}$

Paso 4.1.1.3.2.2.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Paso 4.1.1.3.2.3

Reescribe $- 1 \cdot 0$ como $- 0$ .

$d = - 0$

Paso 4.1.1.3.2.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$d = 0$

Paso 4.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 4.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 4}$

Paso 4.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1.4.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$e = 0 - \frac{0}{4 \cdot - 4}$

Paso 4.1.1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$e = 0 - \frac{0}{- 16}$

Paso 4.1.1.4.2.1.3

Divide $0$ por $- 16$ .

$e = 0 - 0$

Paso 4.1.1.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$e = 0 + 0$

Paso 4.1.1.4.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$e = 0$

Paso 4.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- 4 y^{2}$ .

$- 4 y^{2}$

Paso 4.1.2

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = - 4 y^{2}$

Paso 4.2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - 4$

$h = 0$

$k = 0$

Paso 4.3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia la izquierda.

Abre hacia la izquierda

Paso 4.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(0, 0)$

Paso 4.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 4.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 4.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot - 4}$

Paso 4.5.3

Simplifica.

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Paso 4.5.3.1

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$\frac{1}{- 16}$

Paso 4.5.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{16}$

Paso 4.6

Obtén el foco.

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Paso 4.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada x $h$ si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$(h + p, k)$

Paso 4.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- \frac{1}{16}, 0)$

Paso 4.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$y = 0$

Paso 4.8

Obtén la directriz.

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Paso 4.8.1

La directriz de una parábola es la recta vertical que se obtiene al restar $p$ de la coordenada x $h$ del vértice si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$x = h - p$

Paso 4.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $h$ en la fórmula y simplifica.

$x = \frac{1}{16}$

Paso 4.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia la izquierda

Vértice: $(0, 0)$

Foco: $(- \frac{1}{16}, 0)$

Eje de simetría: $y = 0$

Directriz: $x = \frac{1}{16}$

Dirección: abre hacia la izquierda

Vértice: $(0, 0)$

Foco: $(- \frac{1}{16}, 0)$

Eje de simetría: $y = 0$

Directriz: $x = \frac{1}{16}$

Paso 5

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 5.1

Sustituye el valor $x$ $- 2$ en $f (x) = \frac{\sqrt{- x}}{2}$ . En este caso, el punto es $(- 2, 0.70710678)$ .

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Paso 5.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = \frac{\sqrt{- (- 2)}}{2}$

Paso 5.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 5.1.2.2

La respuesta final es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 5.1.3

Convierte $\frac{\sqrt{2}}{2}$ a decimal.

$= 0.70710678$

Paso 5.2

Sustituye el valor $x$ $- 2$ en $f (x) = - \frac{\sqrt{- x}}{2}$ . En este caso, el punto es $(- 2, - 0.70710678)$ .

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Paso 5.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = - \frac{\sqrt{- (- 2)}}{2}$

Paso 5.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f (- 2) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 5.2.2.2

La respuesta final es $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 5.2.3

Convierte $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ a decimal.

$= - 0.70710678$

Paso 5.3

Sustituye el valor $x$ $- 1$ en $f (x) = \frac{\sqrt{- x}}{2}$ . En este caso, el punto es $(- 1, 0.5)$ .

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Paso 5.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = \frac{\sqrt{- (- 1)}}{2}$

Paso 5.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{\sqrt{1}}{2}$

Paso 5.3.2.1.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{2}$

Paso 5.3.2.2

La respuesta final es $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

Paso 5.3.3

Convierte $\frac{1}{2}$ a decimal.

$= 0.5$

Paso 5.4

Sustituye el valor $x$ $- 1$ en $f (x) = - \frac{\sqrt{- x}}{2}$ . En este caso, el punto es $(- 1, - 0.5)$ .

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Paso 5.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = - \frac{\sqrt{- (- 1)}}{2}$

Paso 5.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.4.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- 1) = - \frac{\sqrt{1}}{2}$

Paso 5.4.2.1.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{2}$

Paso 5.4.2.2

La respuesta final es $- \frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{1}{2}$

Paso 5.4.3

Convierte $- \frac{1}{2}$ a decimal.

$= - 0.5$

Paso 5.5

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0.71 \\ - 2 & - 0.71 \\ - 1 & 0.5 \\ - 1 & - 0.5 \\ 0 & 0 \end{array}$

Paso 6

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre hacia la izquierda

Vértice: $(0, 0)$

Foco: $(- \frac{1}{16}, 0)$

Eje de simetría: $y = 0$

Directriz: $x = \frac{1}{16}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0.71 \\ - 2 & - 0.71 \\ - 1 & 0.5 \\ - 1 & - 0.5 \\ 0 & 0 \end{array}$

Paso 7