Precálculo Ejemplos

$y^{2} - 4 x + 4 y - 4 = 0$

Paso 1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta $y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 x + 4 y - 4 = - y^{2}$

Paso 1.2

Resta $4 y$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 x - 4 = - y^{2} - 4 y$

Paso 1.3

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$- 4 x = - y^{2} - 4 y + 4$

Paso 2

Divide cada término en $- 4 x = - y^{2} - 4 y + 4$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $- 4 x = - y^{2} - 4 y + 4$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{- 4 y}{- 4} + \frac{4}{- 4}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{- 4 y}{- 4} + \frac{4}{- 4}$

Paso 2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{- 4 y}{- 4} + \frac{4}{- 4}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 y}{- 4} + \frac{4}{- 4}$

Paso 2.3.1.2

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 2.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 y}{- 4} + \frac{4}{- 4}$

Paso 2.3.1.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + y + \frac{4}{- 4}$

Paso 2.3.1.3

Divide $4$ por $- 4$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + y - 1$

Paso 3

Obtén las propiedades de la parábola dada.

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 3.1.1

Completa el cuadrado de $\frac{y^{2}}{4} + y - 1$ .

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Paso 3.1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{1}{4}$

$b = 1$

$c = - 1$

Paso 3.1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 3.1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 3.1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 (\frac{1}{4})}$

Paso 3.1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.1.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{4}$ .

$d = \frac{1}{\frac{2}{4}}$

Paso 3.1.1.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 3.1.1.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$d = \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}}$

Paso 3.1.1.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.1.3.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$d = \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Paso 3.1.1.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Paso 3.1.1.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Paso 3.1.1.3.2.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = 1 \cdot 2$

Paso 3.1.1.3.2.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$d = 2$

Paso 3.1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 3.1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 1 - \frac{1^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 3.1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1.4.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$e = - 1 - \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 3.1.1.4.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$e = - 1 - \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Paso 3.1.1.4.2.1.3

Divide $4$ por $4$ .

$e = - 1 - \frac{1}{1}$

Paso 3.1.1.4.2.1.4

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 3.1.1.4.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$e = - 1 - \frac{1}{1}$

Paso 3.1.1.4.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$e = - 1 - 1 \cdot 1$

Paso 3.1.1.4.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e = - 1 - 1$

Paso 3.1.1.4.2.2

Resta $1$ de $- 1$ .

$e = - 2$

Paso 3.1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{1}{4} {(y + 2)}^{2} - 2$ .

$\frac{1}{4} {(y + 2)}^{2} - 2$

Paso 3.1.2

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = \frac{1}{4} \cdot {(y + 2)}^{2} - 2$

Paso 3.2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 2$

$k = - 2$

Paso 3.3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia la derecha.

Abre a la derecha

Paso 3.4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 2, - 2)$

Paso 3.5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 3.5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 3.5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

Paso 3.5.3

Simplifica.

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Paso 3.5.3.1

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

Paso 3.5.3.2

Simplifica mediante la división de números.

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Paso 3.5.3.2.1

Divide $4$ por $4$ .

$\frac{1}{1}$

Paso 3.5.3.2.2

Divide $1$ por $1$ .

$1$

Paso 3.6

Obtén el foco.

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Paso 3.6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada x $h$ si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$(h + p, k)$

Paso 3.6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 1, - 2)$

Paso 3.7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$y = - 2$

Paso 3.8

Obtén la directriz.

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Paso 3.8.1

La directriz de una parábola es la recta vertical que se obtiene al restar $p$ de la coordenada x $h$ del vértice si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha.

$x = h - p$

Paso 3.8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $h$ en la fórmula y simplifica.

$x = - 3$

Paso 3.9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(- 2, - 2)$

Foco: $(- 1, - 2)$

Eje de simetría: $y = - 2$

Directriz: $x = - 3$

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(- 2, - 2)$

Foco: $(- 1, - 2)$

Eje de simetría: $y = - 2$

Directriz: $x = - 3$

Paso 4

Selecciona algunos valores $x$ , e insértalos en la ecuación para obtener los valores $y$ correspondientes. Los valores $x$ deben seleccionarse cerca del vértice.

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Paso 4.1

Sustituye el valor $x$ $- 1$ en $f (x) = - 2 + 2 \sqrt{x + 2}$ . En este caso, el punto es $(- 1, 0)$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = - 2 + 2 \sqrt{(- 1) + 2}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Suma $- 1$ y $2$ .

$f (- 1) = - 2 + 2 \sqrt{1}$

Paso 4.1.2.1.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f (- 1) = - 2 + 2 \cdot 1$

Paso 4.1.2.1.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (- 1) = - 2 + 2$

Paso 4.1.2.2

Suma $- 2$ y $2$ .

$f (- 1) = 0$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $0$ .

$y = 0$

Paso 4.1.3

Convierte $0$ a decimal.

$= 0$

Paso 4.2

Sustituye el valor $x$ $- 1$ en $f (x) = - 2 - 2 \sqrt{x + 2}$ . En este caso, el punto es $(- 1, - 4)$ .

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Paso 4.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = - 2 - 2 \sqrt{(- 1) + 2}$

Paso 4.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Suma $- 1$ y $2$ .

$f (- 1) = - 2 - 2 \sqrt{1}$

Paso 4.2.2.1.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f (- 1) = - 2 - 2 \cdot 1$

Paso 4.2.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f (- 1) = - 2 - 2$

Paso 4.2.2.2

Resta $2$ de $- 2$ .

$f (- 1) = - 4$

Paso 4.2.2.3

La respuesta final es $- 4$ .

$y = - 4$

Paso 4.2.3

Convierte $- 4$ a decimal.

$= - 4$

Paso 4.3

Sustituye el valor $x$ $0$ en $f (x) = - 2 + 2 \sqrt{x + 2}$ . En este caso, el punto es $(0, 0.82842712)$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = - 2 + 2 \sqrt{(0) + 2}$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Suma $0$ y $2$ .

$f (0) = - 2 + 2 \sqrt{2}$

Paso 4.3.2.2

La respuesta final es $- 2 + 2 \sqrt{2}$ .

$y = - 2 + 2 \sqrt{2}$

Paso 4.3.3

Convierte $- 2 + 2 \sqrt{2}$ a decimal.

$= 0.82842712$

Paso 4.4

Sustituye el valor $x$ $0$ en $f (x) = - 2 - 2 \sqrt{x + 2}$ . En este caso, el punto es $(0, - 4.82842712)$ .

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Paso 4.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = - 2 - 2 \sqrt{(0) + 2}$

Paso 4.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.4.2.1

Suma $0$ y $2$ .

$f (0) = - 2 - 2 \sqrt{2}$

Paso 4.4.2.2

La respuesta final es $- 2 - 2 \sqrt{2}$ .

$y = - 2 - 2 \sqrt{2}$

Paso 4.4.3

Convierte $- 2 - 2 \sqrt{2}$ a decimal.

$= - 4.82842712$

Paso 4.5

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 2 \\ - 1 & 0 \\ - 1 & - 4 \\ 0 & 0.83 \\ 0 & - 4.83 \end{array}$

Paso 5

Grafica la parábola mediante sus propiedades y los puntos seleccionados.

Dirección: abre a la derecha

Vértice: $(- 2, - 2)$

Foco: $(- 1, - 2)$

Eje de simetría: $y = - 2$

Directriz: $x = - 3$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 2 \\ - 1 & 0 \\ - 1 & - 4 \\ 0 & 0.83 \\ 0 & - 4.83 \end{array}$

Paso 6