Precálculo Ejemplos

$x^{2} - 3 y^{2} + 8 x - 6 y + 4 = 0$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la hipérbola.

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Paso 1.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 3 y^{2} + 8 x - 6 y = - 4$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $x^{2} + 8 x$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = 8$

$c = 0$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{4}{1}$

Paso 1.2.3.2.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$d = 4$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{64}{4}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $64$ por $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$e = 0 - 16$

Paso 1.2.4.2.2

Resta $16$ de $0$ .

$e = - 16$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x + 4)}^{2} - 16$ .

${(x + 4)}^{2} - 16$

Paso 1.3

Sustituye ${(x + 4)}^{2} - 16$ por $x^{2} + 8 x$ en la ecuación $x^{2} - 3 y^{2} + 8 x - 6 y = - 4$ .

${(x + 4)}^{2} - 16 - 3 y^{2} - 6 y = - 4$

Paso 1.4

Mueve $- 16$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $16$ a ambos lados.

${(x + 4)}^{2} - 3 y^{2} - 6 y = - 4 + 16$

Paso 1.5

Completa el cuadrado de $- 3 y^{2} - 6 y$ .

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Paso 1.5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 3$

$b = - 6$

$c = 0$

Paso 1.5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot - 3}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 6$ y $2$ .

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Paso 1.5.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot - 3}$

Paso 1.5.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 3$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (- 3)}$

Paso 1.5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot - 3}$

Paso 1.5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 3}{- 3}$

Paso 1.5.3.2.2

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 1.5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{- 3}{- 3}$

Paso 1.5.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$d = 1$

Paso 1.5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot - 3}$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.2.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 3}$

Paso 1.5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$e = 0 - \frac{36}{- 12}$

Paso 1.5.4.2.1.3

Divide $36$ por $- 12$ .

$e = 0 - - 3$

Paso 1.5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$e = 0 + 3$

Paso 1.5.4.2.2

Suma $0$ y $3$ .

$e = 3$

Paso 1.5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- 3 {(y + 1)}^{2} + 3$ .

$- 3 {(y + 1)}^{2} + 3$

Paso 1.6

Sustituye $- 3 {(y + 1)}^{2} + 3$ por $- 3 y^{2} - 6 y$ en la ecuación $x^{2} - 3 y^{2} + 8 x - 6 y = - 4$ .

${(x + 4)}^{2} - 3 {(y + 1)}^{2} + 3 = - 4 + 16$

Paso 1.7

Mueve $3$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $3$ a ambos lados.

${(x + 4)}^{2} - 3 {(y + 1)}^{2} = - 4 + 16 - 3$

Paso 1.8

Simplifica $- 4 + 16 - 3$ .

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Paso 1.8.1

Suma $- 4$ y $16$ .

${(x + 4)}^{2} - 3 {(y + 1)}^{2} = 12 - 3$

Paso 1.8.2

Resta $3$ de $12$ .

${(x + 4)}^{2} - 3 {(y + 1)}^{2} = 9$

Paso 1.9

Divide cada término por $9$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{9} - \frac{3 {(y + 1)}^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

Paso 1.10

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{9} - \frac{{(y + 1)}^{2}}{3} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = 3$

$b = \sqrt{3}$

$k = - 1$

$h = - 4$

Paso 4

El centro de una hipérbola sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(- 4, - 1)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(\sqrt{3})}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{9 + {(\sqrt{3})}^{2}}$

Paso 5.3.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{9 + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{9 + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{9 + 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{9 + 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{9 + 3^{1}}$

Paso 5.3.2.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{9 + 3}$

Paso 5.3.3

Suma $9$ y $3$ .

$\sqrt{12}$

Paso 5.3.4

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 5.3.4.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\sqrt{4 (3)}$

Paso 5.3.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Paso 5.3.5

Retira los términos de abajo del radical.

$2 \sqrt{3}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una hipérbola puede obtenerse al sumar $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 1, - 1)$

Paso 6.3

El segundo vértice de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 7, - 1)$

Paso 6.5

Los vértices de una hipérbola siguen la forma de $(h \pm a, k)$ . Las hipérbolas tienen dos vértices.

$(- 1, - 1), (- 7, - 1)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 4 + 2 \sqrt{3}, - 1)$

Paso 7.3

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 4 - 2 \sqrt{3}, - 1)$

Paso 7.5

Los focos de una hipérbola siguen la forma de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

$(- 4 + 2 \sqrt{3}, - 1), (- 4 - 2 \sqrt{3}, - 1)$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(\sqrt{3})}^{2}}}{3}$

Paso 8.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + {\sqrt{3}}^{2}}}{3}$

Paso 8.3.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 8.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{9 + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{3}$

Paso 8.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{9 + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{3}$

Paso 8.3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 3^{\frac{2}{2}}}}{3}$

Paso 8.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{9 + 3^{\frac{2}{2}}}}{3}$

Paso 8.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{9 + 3^{1}}}{3}$

Paso 8.3.2.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{9 + 3}}{3}$

Paso 8.3.3

Suma $9$ y $3$ .

$\frac{\sqrt{12}}{3}$

Paso 8.3.4

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 8.3.4.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{\sqrt{4 (3)}}{3}$

Paso 8.3.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{3}$

Paso 8.3.5

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 9

Obtén el parámetro focal.

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Paso 9.1

Obtén el valor del parámetro focal de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Paso 9.2

Sustituye los valores de $b$ y $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ en la fórmula.

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2 \sqrt{3}}$

Paso 9.3

Cancela el factor común de ${\sqrt{3}}^{2}$ y $\sqrt{3}$ .

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Paso 9.3.1

Factoriza $\sqrt{3}$ de ${\sqrt{3}}^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2 \sqrt{3}}$

Paso 9.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.2.1

Factoriza $\sqrt{3}$ de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot 2}$

Paso 9.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot 2}$

Paso 9.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 10

Las asíntotas siguen la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ porque esta hipérbola abre hacia la izquierda y la derecha.

$y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - (- 4)) - 1$

Paso 11

Simplifica para obtener la primera asíntota.

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Paso 11.1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - (- 4)) - 1$

Paso 11.2

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x + 4) - 1$

Paso 11.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 4 - 1$

Paso 11.2.3

Combina $\frac{\sqrt{3}}{3}$ y $x$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 4 - 1$

Paso 11.2.4

Combina $\frac{\sqrt{3}}{3}$ y $4$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3} \cdot 4}{3} - 1$

Paso 11.2.5

Mueve $4$ a la izquierda de $\sqrt{3}$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 1$

Paso 12

Simplifica para obtener la segunda asíntota.

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Paso 12.1

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - (- 4)) - 1$

Paso 12.2

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x + 4) - 1$

Paso 12.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 4 - 1$

Paso 12.2.3

Combina $x$ y $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 4 - 1$

Paso 12.2.4

Multiplica $- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 4$ .

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Paso 12.2.4.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - 4 \frac{\sqrt{3}}{3} - 1$

Paso 12.2.4.2

Combina $- 4$ y $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3} - 1$

Paso 12.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 1$

Paso 13

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 1, y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 1$

Paso 14

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una hipérbola.

Centro: $(- 4, - 1)$

Vértices: $(- 1, - 1), (- 7, - 1)$

Focos: $(- 4 + 2 \sqrt{3}, - 1), (- 4 - 2 \sqrt{3}, - 1)$

Excentricidad: $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Parámetro focal: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Asíntotas: $y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 1$ , $y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 1$

Paso 15