Precálculo Ejemplos

$4 x^{2} - y^{2} - 16 x - 6 y - 9 = 0$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la hipérbola.

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Paso 1.1

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} - y^{2} - 16 x - 6 y = 9$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $4 x^{2} - 16 x$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 4$

$b = - 16$

$c = 0$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 16}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 16$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 (4)}$

Paso 1.2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 8}{4}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $- 8$ y $4$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Factoriza $4$ de $- 8$ .

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.2.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)}$

Paso 1.2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 2}{1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$d = - 2$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 16)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 16$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 4}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{256}{16}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $256$ por $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$e = 0 - 16$

Paso 1.2.4.2.2

Resta $16$ de $0$ .

$e = - 16$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $4 {(x - 2)}^{2} - 16$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 16$

Paso 1.3

Sustituye $4 {(x - 2)}^{2} - 16$ por $4 x^{2} - 16 x$ en la ecuación $4 x^{2} - y^{2} - 16 x - 6 y = 9$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 16 - y^{2} - 6 y = 9$

Paso 1.4

Mueve $- 16$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $16$ a ambos lados.

$4 {(x - 2)}^{2} - y^{2} - 6 y = 9 + 16$

Paso 1.5

Completa el cuadrado de $- y^{2} - 6 y$ .

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Paso 1.5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 1$

$b = - 6$

$c = 0$

Paso 1.5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 6$ y $2$ .

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Paso 1.5.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.5.3.2.1.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{- 3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 3$

Paso 1.5.3.2.2

Reescribe $- 1 \cdot - 3$ como $- - 3$ .

$d = - - 3$

Paso 1.5.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$d = 3$

Paso 1.5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.2.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$e = 0 - \frac{36}{- 4}$

Paso 1.5.4.2.1.3

Divide $36$ por $- 4$ .

$e = 0 - - 9$

Paso 1.5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 9$ .

$e = 0 + 9$

Paso 1.5.4.2.2

Suma $0$ y $9$ .

$e = 9$

Paso 1.5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- {(y + 3)}^{2} + 9$ .

$- {(y + 3)}^{2} + 9$

Paso 1.6

Sustituye $- {(y + 3)}^{2} + 9$ por $- y^{2} - 6 y$ en la ecuación $4 x^{2} - y^{2} - 16 x - 6 y = 9$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} + 9 = 9 + 16$

Paso 1.7

Mueve $9$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $9$ a ambos lados.

$4 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = 9 + 16 - 9$

Paso 1.8

Simplifica $9 + 16 - 9$ .

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Paso 1.8.1

Suma $9$ y $16$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = 25 - 9$

Paso 1.8.2

Resta $9$ de $25$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = 16$

Paso 1.9

Divide cada término por $16$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{16} = \frac{16}{16}$

Paso 1.10

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{4} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{16} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = 2$

$b = 4$

$k = - 3$

$h = 2$

Paso 4

El centro de una hipérbola sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(2, - 3)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(4)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{4 + {(4)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{4 + 16}$

Paso 5.3.3

Suma $4$ y $16$ .

$\sqrt{20}$

Paso 5.3.4

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 5.3.4.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$\sqrt{4 (5)}$

Paso 5.3.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Paso 5.3.5

Retira los términos de abajo del radical.

$2 \sqrt{5}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una hipérbola puede obtenerse al sumar $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(4, - 3)$

Paso 6.3

El segundo vértice de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(0, - 3)$

Paso 6.5

Los vértices de una hipérbola siguen la forma de $(h \pm a, k)$ . Las hipérbolas tienen dos vértices.

$(4, - 3), (0, - 3)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(2 + 2 \sqrt{5}, - 3)$

Paso 7.3

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(2 - 2 \sqrt{5}, - 3)$

Paso 7.5

Los focos de una hipérbola siguen la forma de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

$(2 + 2 \sqrt{5}, - 3), (2 - 2 \sqrt{5}, - 3)$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(4)}^{2}}}{2}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4^{2}}}{2}$

Paso 8.3.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 16}}{2}$

Paso 8.3.1.3

Suma $4$ y $16$ .

$\frac{\sqrt{20}}{2}$

Paso 8.3.1.4

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 8.3.1.4.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$\frac{\sqrt{4 (5)}}{2}$

Paso 8.3.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2}$

Paso 8.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{2 \sqrt{5}}{2}$

Paso 8.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{5}}{2}$

Paso 8.3.2.2

Divide $\sqrt{5}$ por $1$ .

$\sqrt{5}$

Paso 9

Obtén el parámetro focal.

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Paso 9.1

Obtén el valor del parámetro focal de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Paso 9.2

Sustituye los valores de $b$ y $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ en la fórmula.

$\frac{4^{2}}{2 \sqrt{5}}$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{16}{2 \sqrt{5}}$

Paso 9.3.2

Cancela el factor común de $16$ y $2$ .

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Paso 9.3.2.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 \sqrt{5}}$

Paso 9.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 (\sqrt{5})}$

Paso 9.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \sqrt{5}}$

Paso 9.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{8}{\sqrt{5}}$

Paso 9.3.3

Multiplica $\frac{8}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{8}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Paso 9.3.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 9.3.4.1

Multiplica $\frac{8}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 9.3.4.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Paso 9.3.4.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Paso 9.3.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{8 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Paso 9.3.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 9.3.4.6

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 9.3.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.3.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 9.3.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{8 \sqrt{5}}{5^{1}}$

Paso 9.3.4.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{8 \sqrt{5}}{5}$

Paso 10

Las asíntotas siguen la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ porque esta hipérbola abre hacia la izquierda y la derecha.

$y = \pm 2 \cdot (x - (2)) - 3$

Paso 11

Simplifica para obtener la primera asíntota.

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Paso 11.1

Elimina los paréntesis.

$y = 2 \cdot (x - (2)) - 3$

Paso 11.2

Simplifica $2 \cdot (x - (2)) - 3$ .

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y = 2 \cdot (x - 2) - 3$

Paso 11.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 2 x + 2 \cdot - 2 - 3$

Paso 11.2.1.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$y = 2 x - 4 - 3$

Paso 11.2.2

Resta $3$ de $- 4$ .

$y = 2 x - 7$

Paso 12

Simplifica para obtener la segunda asíntota.

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Paso 12.1

Elimina los paréntesis.

$y = - 2 \cdot (x - (2)) - 3$

Paso 12.2

Simplifica $- 2 \cdot (x - (2)) - 3$ .

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Paso 12.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y = - 2 \cdot (x - 2) - 3$

Paso 12.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - 2 x - 2 \cdot - 2 - 3$

Paso 12.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$y = - 2 x + 4 - 3$

Paso 12.2.2

Resta $3$ de $4$ .

$y = - 2 x + 1$

Paso 13

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = 2 x - 7, y = - 2 x + 1$

Paso 14

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una hipérbola.

Centro: $(2, - 3)$

Vértices: $(4, - 3), (0, - 3)$

Focos: $(2 + 2 \sqrt{5}, - 3), (2 - 2 \sqrt{5}, - 3)$

Excentricidad: $\sqrt{5}$

Parámetro focal: $\frac{8 \sqrt{5}}{5}$

Asíntotas: $y = 2 x - 7$ , $y = - 2 x + 1$

Paso 15