Precálculo Ejemplos

$\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

Paso 1

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = \sqrt{6}$

$b = 4$

$k = 0$

$h = 0$

Paso 4

El centro de una hipérbola sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(0, 0)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(\sqrt{6})}^{2} + {(4)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Paso 5.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(4)}^{2}}$

Paso 5.3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(4)}^{2}}$

Paso 5.3.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{6^{\frac{2}{2}} + {(4)}^{2}}$

Paso 5.3.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.1.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{6^{\frac{2}{2}} + {(4)}^{2}}$

Paso 5.3.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{6^{1} + {(4)}^{2}}$

Paso 5.3.1.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{6 + {(4)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.2.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{6 + 16}$

Paso 5.3.2.2

Suma $6$ y $16$ .

$\sqrt{22}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una hipérbola puede obtenerse al sumar $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(\sqrt{6}, 0)$

Paso 6.3

El segundo vértice de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- \sqrt{6}, 0)$

Paso 6.5

Los vértices de una hipérbola siguen la forma de $(h \pm a, k)$ . Las hipérbolas tienen dos vértices.

$(\sqrt{6}, 0), (- \sqrt{6}, 0)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(\sqrt{22}, 0)$

Paso 7.3

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- \sqrt{22}, 0)$

Paso 7.5

Los focos de una hipérbola siguen la forma de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

$(\sqrt{22}, 0), (- \sqrt{22}, 0)$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{6})}^{2} + {(4)}^{2}}}{\sqrt{6}}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1.1

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4^{2}}}{\sqrt{6}}$

Paso 8.3.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4^{2}}}{\sqrt{6}}$

Paso 8.3.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{6^{\frac{2}{2}} + 4^{2}}}{\sqrt{6}}$

Paso 8.3.1.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{6^{\frac{2}{2}} + 4^{2}}}{\sqrt{6}}$

Paso 8.3.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{6^{1} + 4^{2}}}{\sqrt{6}}$

Paso 8.3.1.1.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{6 + 4^{2}}}{\sqrt{6}}$

Paso 8.3.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{6 + 16}}{\sqrt{6}}$

Paso 8.3.1.3

Suma $6$ y $16$ .

$\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{6}}$

Paso 8.3.2

Combina $\sqrt{22}$ y $\sqrt{6}$ en un solo radical.

$\sqrt{\frac{22}{6}}$

Paso 8.3.3

Cancela el factor común de $22$ y $6$ .

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Paso 8.3.3.1

Factoriza $2$ de $22$ .

$\sqrt{\frac{2 (11)}{6}}$

Paso 8.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 11}{2 \cdot 3}}$

Paso 8.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 11}{2 \cdot 3}}$

Paso 8.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{11}{3}}$

Paso 8.3.4

Reescribe $\sqrt{\frac{11}{3}}$ como $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.5

Multiplica $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 8.3.6

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 8.3.6.1

Multiplica $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 8.3.6.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 8.3.6.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 8.3.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 8.3.6.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 8.3.6.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 8.3.6.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 8.3.6.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 8.3.6.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.3.6.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.6.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.3.6.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 8.3.6.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3}$

Paso 8.3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.7.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{11 \cdot 3}}{3}$

Paso 8.3.7.2

Multiplica $11$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{33}}{3}$

Paso 9

Obtén el parámetro focal.

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Paso 9.1

Obtén el valor del parámetro focal de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Paso 9.2

Sustituye los valores de $b$ y $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ en la fórmula.

$\frac{4^{2}}{\sqrt{22}}$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{16}{\sqrt{22}}$

Paso 9.3.2

Multiplica $\frac{16}{\sqrt{22}}$ por $\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{22}}$ .

$\frac{16}{\sqrt{22}} \cdot \frac{\sqrt{22}}{\sqrt{22}}$

Paso 9.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 9.3.3.1

Multiplica $\frac{16}{\sqrt{22}}$ por $\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{22}}$ .

$\frac{16 \sqrt{22}}{\sqrt{22} \sqrt{22}}$

Paso 9.3.3.2

Eleva $\sqrt{22}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{16 \sqrt{22}}{{\sqrt{22}}^{1} \sqrt{22}}$

Paso 9.3.3.3

Eleva $\sqrt{22}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{16 \sqrt{22}}{{\sqrt{22}}^{1} {\sqrt{22}}^{1}}$

Paso 9.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{16 \sqrt{22}}{{\sqrt{22}}^{1 + 1}}$

Paso 9.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{16 \sqrt{22}}{{\sqrt{22}}^{2}}$

Paso 9.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{22}}^{2}$ como $22$ .

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Paso 9.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{22}$ como $22^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{16 \sqrt{22}}{{(22^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16 \sqrt{22}}{22^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 9.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{16 \sqrt{22}}{22^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{16 \sqrt{22}}{22^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{16 \sqrt{22}}{22^{1}}$

Paso 9.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{16 \sqrt{22}}{22}$

Paso 9.3.4

Cancela el factor común de $16$ y $22$ .

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Paso 9.3.4.1

Factoriza $2$ de $16 \sqrt{22}$ .

$\frac{2 (8 \sqrt{22})}{22}$

Paso 9.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.4.2.1

Factoriza $2$ de $22$ .

$\frac{2 (8 \sqrt{22})}{2 (11)}$

Paso 9.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (8 \sqrt{22})}{2 \cdot 11}$

Paso 9.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{8 \sqrt{22}}{11}$

Paso 10

Las asíntotas siguen la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ porque esta hipérbola abre hacia la izquierda y la derecha.

$y = \pm \frac{2 \sqrt{6}}{3} x + 0$

Paso 11

Simplifica $\frac{2 \sqrt{6}}{3} x + 0$ .

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Paso 11.1

Suma $\frac{2 \sqrt{6}}{3} x$ y $0$ .

$y = \frac{2 \sqrt{6}}{3} x$

Paso 11.2

Combina $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ y $x$ .

$y = \frac{2 \sqrt{6} x}{3}$

Paso 12

Simplifica $- \frac{2 \sqrt{6}}{3} x + 0$ .

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Paso 12.1

Suma $- \frac{2 \sqrt{6}}{3} x$ y $0$ .

$y = - \frac{2 \sqrt{6}}{3} x$

Paso 12.2

Combina $x$ y $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ .

$y = - \frac{x (2 \sqrt{6})}{3}$

Paso 12.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$y = - \frac{2 x \sqrt{6}}{3}$

Paso 13

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = \frac{2 \sqrt{6} x}{3}, y = - \frac{2 x \sqrt{6}}{3}$

Paso 14

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una hipérbola.

Centro: $(0, 0)$

Vértices: $(\sqrt{6}, 0), (- \sqrt{6}, 0)$

Focos: $(\sqrt{22}, 0), (- \sqrt{22}, 0)$

Excentricidad: $\frac{\sqrt{33}}{3}$

Parámetro focal: $\frac{8 \sqrt{22}}{11}$

Asíntotas: $y = \frac{2 \sqrt{6} x}{3}$ , $y = - \frac{2 x \sqrt{6}}{3}$

Paso 15