Precálculo Ejemplos

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{16} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{4} = 1$

Paso 1

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{16} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{4} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = 4$

$b = 2$

$k = 3$

$h = - 1$

Paso 4

El centro de una hipérbola sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(- 1, 3)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(2)}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{16 + {(2)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{16 + 4}$

Paso 5.3.3

Suma $16$ y $4$ .

$\sqrt{20}$

Paso 5.3.4

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 5.3.4.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$\sqrt{4 (5)}$

Paso 5.3.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Paso 5.3.5

Retira los términos de abajo del radical.

$2 \sqrt{5}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una hipérbola puede obtenerse al sumar $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 1, 7)$

Paso 6.3

El segundo vértice de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $a$ de $k$ .

$(h, k - a)$

Paso 6.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 1, - 1)$

Paso 6.5

Los vértices de una hipérbola siguen la forma de $(h, k \pm a)$ . Las hipérbolas tienen dos vértices.

$(- 1, 7), (- 1, - 1)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 1, 3 + 2 \sqrt{5})$

Paso 7.3

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Paso 7.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(- 1, 3 - 2 \sqrt{5})$

Paso 7.5

Los focos de una hipérbola siguen la forma de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

$(- 1, 3 + 2 \sqrt{5}), (- 1, 3 - 2 \sqrt{5})$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(2)}^{2}}}{4}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 2^{2}}}{4}$

Paso 8.3.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 4}}{4}$

Paso 8.3.1.3

Suma $16$ y $4$ .

$\frac{\sqrt{20}}{4}$

Paso 8.3.1.4

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 8.3.1.4.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$\frac{\sqrt{4 (5)}}{4}$

Paso 8.3.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}{4}$

Paso 8.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{2 \sqrt{5}}{4}$

Paso 8.3.2

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 8.3.2.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{2 (\sqrt{5})}{4}$

Paso 8.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{2 \cdot 2}$

Paso 8.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{5}}{2 \cdot 2}$

Paso 8.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

Paso 9

Obtén el parámetro focal.

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Paso 9.1

Obtén el valor del parámetro focal de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Paso 9.2

Sustituye los valores de $b$ y $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ en la fórmula.

$\frac{2^{2}}{2 \sqrt{5}}$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Cancela el factor común de $2^{2}$ y $2$ .

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Paso 9.3.1.1

Factoriza $2$ de $2^{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{5}}$

Paso 9.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (\sqrt{5})}$

Paso 9.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{5}}$

Paso 9.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{\sqrt{5}}$

Paso 9.3.2

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Paso 9.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 9.3.3.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 9.3.3.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Paso 9.3.3.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Paso 9.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Paso 9.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 9.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 9.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 9.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{1}}$

Paso 9.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Paso 10

Las asíntotas siguen la forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ porque esta hipérbola abre hacia arriba y hacia abajo.

$y = \pm 2 \cdot (x - (- 1)) + 3$

Paso 11

Simplifica para obtener la primera asíntota.

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Paso 11.1

Elimina los paréntesis.

$y = 2 \cdot (x - (- 1)) + 3$

Paso 11.2

Simplifica $2 \cdot (x - (- 1)) + 3$ .

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = 2 \cdot (x + 1) + 3$

Paso 11.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 2 x + 2 \cdot 1 + 3$

Paso 11.2.1.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = 2 x + 2 + 3$

Paso 11.2.2

Suma $2$ y $3$ .

$y = 2 x + 5$

Paso 12

Simplifica para obtener la segunda asíntota.

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Paso 12.1

Elimina los paréntesis.

$y = - 2 \cdot (x - (- 1)) + 3$

Paso 12.2

Simplifica $- 2 \cdot (x - (- 1)) + 3$ .

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Paso 12.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = - 2 \cdot (x + 1) + 3$

Paso 12.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - 2 x - 2 \cdot 1 + 3$

Paso 12.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$y = - 2 x - 2 + 3$

Paso 12.2.2

Suma $- 2$ y $3$ .

$y = - 2 x + 1$

Paso 13

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = 2 x + 5, y = - 2 x + 1$

Paso 14

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una hipérbola.

Centro: $(- 1, 3)$

Vértices: $(- 1, 7), (- 1, - 1)$

Focos: $(- 1, 3 + 2 \sqrt{5}), (- 1, 3 - 2 \sqrt{5})$

Excentricidad: $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Parámetro focal: $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Asíntotas: $y = 2 x + 5$ , $y = - 2 x + 1$

Paso 15