Precálculo Ejemplos

${(x - 2)}^{2} = - 8 (y + 3)$

Paso 1

Aísla $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación como $- 8 (y + 3) = {(x - 2)}^{2}$ .

$- 8 (y + 3) = {(x - 2)}^{2}$

Paso 1.2

Divide cada término en $- 8 (y + 3) = {(x - 2)}^{2}$ por $- 8$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $- 8 (y + 3) = {(x - 2)}^{2}$ por $- 8$ .

$\frac{- 8 (y + 3)}{- 8} = \frac{{(x - 2)}^{2}}{- 8}$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $- 8$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 8 (y + 3)}{- 8} = \frac{{(x - 2)}^{2}}{- 8}$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $y + 3$ por $1$ .

$y + 3 = \frac{{(x - 2)}^{2}}{- 8}$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + 3 = - \frac{{(x - 2)}^{2}}{8}$

Paso 1.3

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{{(x - 2)}^{2}}{8} - 3$

Paso 1.4

Reordena los términos.

$y = - \frac{1}{8} \cdot {(x - 2)}^{2} - 3$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - \frac{1}{8}$

$h = 2$

$k = - 3$

Paso 3

Como el valor de $a$ es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

Abre hacia abajo

Paso 4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(2, - 3)$

Paso 5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{8})}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 5.3.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{8})}$

Paso 5.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{8})}$

Paso 5.3.2

Combina $4$ y $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{8}}$

Paso 5.3.3

Cancela el factor común de $4$ y $8$ .

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$- \frac{1}{\frac{4 (1)}{8}}$

Paso 5.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Paso 5.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Paso 5.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Paso 5.3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- (1 \cdot 2)$

Paso 5.3.5

Multiplica $- (1 \cdot 2)$ .

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Paso 5.3.5.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$- 1 \cdot 2$

Paso 5.3.5.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2$

Paso 6

Obtén el foco.

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Paso 6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(2, - 5)$

Paso 7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = 2$

Paso 8

Obtén la directriz.

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Paso 8.1

La directriz de una parábola es la recta horizontal que se obtiene al restar $p$ de la coordenada y $k$ del vértice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$y = k - p$

Paso 8.2

Sustituye los valores conocidos de $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$y = - 1$

Paso 9

Usa las propiedades de la parábola para analizar y graficar la parábola.

Dirección: abre hacia abajo

Vértice: $(2, - 3)$

Foco: $(2, - 5)$

Eje de simetría: $x = 2$

Directriz: $y = - 1$

Paso 10