Precálculo Ejemplos

$\frac{1}{\tan (x)} + \tan (x) = \sec (x) \csc (x)$

Paso 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\frac{1}{\tan (x)} + \tan (x)$

Paso 2

Escribe $\tan (x)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{1}{\tan (x)} + \frac{\tan (x)}{1}$

Paso 3

Suma fracciones.

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Paso 3.1

Para escribir $\frac{\tan (x)}{1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\tan (x)}{\tan (x)}$ .

$\frac{1}{\tan (x)} + \frac{\tan (x)}{1} \cdot \frac{\tan (x)}{\tan (x)}$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{\tan (x)}{1}$ por $\frac{\tan (x)}{\tan (x)}$ .

$\frac{1}{\tan (x)} + \frac{\tan (x) \tan (x)}{\tan (x)}$

Paso 3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 + \tan (x) \tan (x)}{\tan (x)}$

Paso 4

Multiplica $\tan (x) \tan (x)$ .

$\frac{1 + \tan^{2} (x)}{\tan (x)}$

Paso 5

Aplica la identidad pitagórica.

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Paso 5.1

Reorganiza los términos.

$\frac{\tan^{2} (x) + 1}{\tan (x)}$

Paso 5.2

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{\sec^{2} (x)}{\tan (x)}$

Paso 6

Convierte a senos y cosenos.

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Paso 6.1

Aplica la identidad recíproca a $\sec (x)$ .

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{\tan (x)}$

Paso 6.2

Escribe $\tan (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Paso 6.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 7.2

Combinar.

$\frac{1^{2} \cos (x)}{{\cos (x)}^{2} \sin (x)}$

Paso 7.3

Cancela el factor común de $\cos (x)$ y ${\cos (x)}^{2}$ .

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Paso 7.3.1

Factoriza $\cos (x)$ de $1^{2} \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 1^{2}}{{\cos (x)}^{2} \sin (x)}$

Paso 7.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.2.1

Factoriza $\cos (x)$ de ${\cos (x)}^{2} \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 1^{2}}{\cos (x) (\cos (x) \sin (x))}$

Paso 7.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\cos (x) \cdot 1^{2}}{\cos (x) (\cos (x) \sin (x))}$

Paso 7.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1^{2}}{\cos (x) \sin (x)}$

Paso 7.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Paso 8

Reescribe $\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$ como $\sec (x) \csc (x)$ .

$\sec (x) \csc (x)$

Paso 9

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{1}{\tan (x)} + \tan (x) = \sec (x) \csc (x)$ es una identidad