Precálculo Ejemplos

$\frac{\cot (x)}{\sec (x)} = \csc (x) - \sin (x)$

Paso 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\frac{\cot (x)}{\sec (x)}$

Paso 2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{\cot (x)}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Paso 2.2

Reescribe $\cot (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Paso 2.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$

Paso 2.4

Escribe $\cos (x)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{1}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$

Paso 2.5.2

Combina $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ y $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 2.6.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)}$

Paso 2.6.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)}$

Paso 2.6.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Paso 3

Aplica la identidad pitagórica al revés.

$\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin (x)}$

Paso 4

Ahora considera el lado derecho de la ecuación.

$\csc (x) - \sin (x)$

Paso 5

Aplica la identidad recíproca a $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)$

Paso 6

Escribe $- \sin (x)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{- \sin (x)}{1}$

Paso 7

Suma fracciones.

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Paso 7.1

Para escribir $\frac{- \sin (x)}{1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{- \sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Paso 7.2

Multiplica $\frac{- \sin (x)}{1}$ por $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{- \sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

Paso 7.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - \sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

Paso 8

Multiplica $- \sin (x) \sin (x)$ .

$\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin (x)}$

Paso 9

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{\cot (x)}{\sec (x)} = \csc (x) - \sin (x)$ es una identidad