Precálculo Ejemplos

$\tan (\arcsin (\frac{x}{2}))$

Paso 1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, \frac{x}{2})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, 0)$ y el origen. Entonces $\arcsin (\frac{x}{2})$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, \frac{x}{2})$ . Por lo tanto, $\tan (\arcsin (\frac{x}{2}))$ es $\frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}$ .

$\frac{\frac{x}{2}}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}$

Paso 2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}$

Paso 3

Combina fracciones.

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Paso 3.1

Combinar.

$\frac{x \cdot 1}{2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}$

Paso 3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x}{2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}$

Paso 4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{x}{2 \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}}$

Paso 4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \frac{x}{2}$ .

$\frac{x}{2 \sqrt{(1 + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})}}$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{x}{2 \sqrt{(\frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})}}$

Paso 4.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x}{2 \sqrt{\frac{2 + x}{2} (1 - \frac{x}{2})}}$

Paso 4.3.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{x}{2 \sqrt{\frac{2 + x}{2} (\frac{2}{2} - \frac{x}{2})}}$

Paso 4.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x}{2 \sqrt{\frac{2 + x}{2} \cdot \frac{2 - x}{2}}}$

Paso 4.4

Multiplica $\frac{2 + x}{2}$ por $\frac{2 - x}{2}$ .

$\frac{x}{2 \sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{2 \cdot 2}}}$

Paso 4.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{x}{2 \sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}}}$

Paso 4.6

Reescribe $\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))$ .

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Paso 4.6.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $(2 + x) (2 - x)$ .

$\frac{x}{2 \sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{4}}}$

Paso 4.6.2

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4$ .

$\frac{x}{2 \sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}}}$

Paso 4.6.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$\frac{x}{2 \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))}}$

Paso 4.7

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{x}{2 (\frac{1}{2} \sqrt{(2 + x) (2 - x)})}$

Paso 4.8

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ .

$\frac{x}{2 \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}}$

Paso 5

Combina $2$ y $\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$ .

$\frac{x}{\frac{2 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}}$

Paso 6

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 6.1

Reduce la expresión $\frac{2 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 6.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x}{\frac{2 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}}$

Paso 6.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x}{\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{1}}$

Paso 6.2

Divide $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ por $1$ .

$\frac{x}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

Paso 7

Multiplica $\frac{x}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ por $\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ .

$\frac{x}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

Paso 8

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 8.1

Multiplica $\frac{x}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ por $\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ .

$\frac{x \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

Paso 8.2

Eleva $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

Paso 8.3

Eleva $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1} {\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1}}$

Paso 8.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1 + 1}}$

Paso 8.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{2}}$

Paso 8.6

Reescribe ${\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{2}$ como $(2 + x) (2 - x)$ .

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Paso 8.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ como ${((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{({((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 8.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 8.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{x \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{1}}$

Paso 8.6.5

Simplifica.

$\frac{x \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{(2 + x) (2 - x)}$