Precálculo Ejemplos

$\log (x - 2) + \log (9 - x) < 1$

Paso 1

Convierte la desigualdad a una igualdad.

$\log (x - 2) + \log (9 - x) = 1$

Paso 2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x - 2) (9 - x)) = 1$

Paso 2.1.2

Expande $(x - 2) (9 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (x (9 - x) - 2 (9 - x)) = 1$

Paso 2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (x \cdot 9 + x (- x) - 2 (9 - x)) = 1$

Paso 2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (x \cdot 9 + x (- x) - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

Paso 2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.3.1.1

Mueve $9$ a la izquierda de $x$ .

$\log (9 \cdot x + x (- x) - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

Paso 2.1.3.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\log (9 x - x \cdot x - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

Paso 2.1.3.1.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.3.1.3.1

Mueve $x$ .

$\log (9 x - (x \cdot x) - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

Paso 2.1.3.1.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\log (9 x - x^{2} - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

Paso 2.1.3.1.4

Multiplica $- 2$ por $9$ .

$\log (9 x - x^{2} - 18 - 2 (- x)) = 1$

Paso 2.1.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\log (9 x - x^{2} - 18 + 2 x) = 1$

Paso 2.1.3.2

Suma $9 x$ y $2 x$ .

$\log (11 x - x^{2} - 18) = 1$

Paso 2.2

Reescribe $\log (11 x - x^{2} - 18) = 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 11 x - x^{2} - 18$

Paso 2.3

Resuelve $x$

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Paso 2.3.1

Reescribe la ecuación como $11 x - x^{2} - 18 = 10^{1}$ .

$11 x - x^{2} - 18 = 10$

Paso 2.3.2

Resta $10$ de ambos lados de la ecuación.

$11 x - x^{2} - 18 - 10 = 0$

Paso 2.3.3

Resta $10$ de $- 18$ .

$11 x - x^{2} - 28 = 0$

Paso 2.3.4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.3.4.1

Factoriza $- 1$ de $11 x - x^{2} - 28$ .

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Paso 2.3.4.1.1

Reordena $11 x$ y $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 11 x - 28 = 0$

Paso 2.3.4.1.2

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 11 x - 28 = 0$

Paso 2.3.4.1.3

Factoriza $- 1$ de $11 x$ .

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 28 = 0$

Paso 2.3.4.1.4

Reescribe $- 28$ como $- 1 (28)$ .

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 1 \cdot 28 = 0$

Paso 2.3.4.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 11 x)$ .

$- (x^{2} - 11 x) - 1 \cdot 28 = 0$

Paso 2.3.4.1.6

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} - 11 x) - 1 (28)$ .

$- (x^{2} - 11 x + 28) = 0$

Paso 2.3.4.2

Factoriza.

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Paso 2.3.4.2.1

Factoriza $x^{2} - 11 x + 28$ con el método AC.

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Paso 2.3.4.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $28$ y cuya suma es $- 11$ .

$- 7, - 4$

Paso 2.3.4.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- ((x - 7) (x - 4)) = 0$

Paso 2.3.4.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (x - 7) (x - 4) = 0$

Paso 2.3.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 4 = 0$

Paso 2.3.6

Establece $x - 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.6.1

Establece $x - 7$ igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Paso 2.3.6.2

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 7$

Paso 2.3.7

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.7.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 2.3.7.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 2.3.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (x - 7) (x - 4) = 0$ verdadera.

$x = 7, 4$

Paso 3

Obtén el dominio de $\log (11 x - x^{2} - 18) - 1$ .

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Paso 3.1

Establece el argumento en $\log (11 x - x^{2} - 18)$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$11 x - x^{2} - 18 > 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$11 x - x^{2} - 18 = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.2.1

Factoriza $- 1$ de $11 x - x^{2} - 18$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Reordena $11 x$ y $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 11 x - 18 = 0$

Paso 3.2.2.1.2

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 11 x - 18 = 0$

Paso 3.2.2.1.3

Factoriza $- 1$ de $11 x$ .

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 18 = 0$

Paso 3.2.2.1.4

Reescribe $- 18$ como $- 1 (18)$ .

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 1 \cdot 18 = 0$

Paso 3.2.2.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 11 x)$ .

$- (x^{2} - 11 x) - 1 \cdot 18 = 0$

Paso 3.2.2.1.6

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} - 11 x) - 1 (18)$ .

$- (x^{2} - 11 x + 18) = 0$

Paso 3.2.2.2

Factoriza.

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Paso 3.2.2.2.1

Factoriza $x^{2} - 11 x + 18$ con el método AC.

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Paso 3.2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $18$ y cuya suma es $- 11$ .

$- 9, - 2$

Paso 3.2.2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- ((x - 9) (x - 2)) = 0$

Paso 3.2.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (x - 9) (x - 2) = 0$

Paso 3.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 3.2.4

Establece $x - 9$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.2.4.1

Establece $x - 9$ igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

Paso 3.2.4.2

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 9$

Paso 3.2.5

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.2.5.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 3.2.5.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 3.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (x - 9) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = 9, 2$

Paso 3.2.7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 2$

$2 < x < 9$

$x > 9$

Paso 3.2.8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 3.2.8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.2.8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 3.2.8.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$11 (0) - {(0)}^{2} - 18 > 0$

Paso 3.2.8.1.3

$- 18$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 3.2.8.2

Prueba un valor en el intervalo $2 < x < 9$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.2.8.2.1

Elije un valor en el intervalo $2 < x < 9$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 3.2.8.2.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$11 (6) - {(6)}^{2} - 18 > 0$

Paso 3.2.8.2.3

$12$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 3.2.8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 9$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.2.8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 9$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 12$

Paso 3.2.8.3.2

Reemplaza $x$ con $12$ en la desigualdad original.

$11 (12) - {(12)}^{2} - 18 > 0$

Paso 3.2.8.3.3

$- 30$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 3.2.8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 2$ Falso

$2 < x < 9$ Verdadero

$x > 9$ Falso

$x < 2$ Falso

$2 < x < 9$ Verdadero

$x > 9$ Falso

Paso 3.2.9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$2 < x < 9$

Paso 3.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(2, 9)$

Paso 4

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 2$

$2 < x < 4$

$4 < x < 7$

$7 < x < 9$

$x > 9$

Paso 5

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 5.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 5.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\log ((0) - 2) + \log (9 - (0)) < 1$

Paso 5.1.3

Determina si la desigualdad es verdadera.

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Paso 5.1.3.1

La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.

$Indefinida$

Paso 5.1.3.2

El lado izquierdo no tiene solución, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 5.2

Prueba un valor en el intervalo $2 < x < 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.2.1

Elije un valor en el intervalo $2 < x < 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 5.2.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$\log ((3) - 2) + \log (9 - (3)) < 1$

Paso 5.2.3

$0.77815125$ del lado izquierdo es menor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 5.3

Prueba un valor en el intervalo $4 < x < 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.3.1

Elije un valor en el intervalo $4 < x < 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 5.3.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$\log ((6) - 2) + \log (9 - (6)) < 1$

Paso 5.3.3

$1.07918124$ del lado izquierdo no es menor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 5.4

Prueba un valor en el intervalo $7 < x < 9$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.4.1

Elije un valor en el intervalo $7 < x < 9$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 5.4.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

$\log ((8) - 2) + \log (9 - (8)) < 1$

Paso 5.4.3

$0.77815125$ del lado izquierdo es menor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 5.5

Prueba un valor en el intervalo $x > 9$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.5.1

Elije un valor en el intervalo $x > 9$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 12$

Paso 5.5.2

Reemplaza $x$ con $12$ en la desigualdad original.

$\log ((12) - 2) + \log (9 - (12)) < 1$

Paso 5.5.3

Determina si la desigualdad es verdadera.

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Paso 5.5.3.1

La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.

$Indefinida$

Paso 5.5.3.2

El lado izquierdo no tiene solución, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 5.6

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 2$ Falso

$2 < x < 4$ Verdadero

$4 < x < 7$ Falso

$7 < x < 9$ Verdadero

$x > 9$ Falso

$x < 2$ Falso

$2 < x < 4$ Verdadero

$4 < x < 7$ Falso

$7 < x < 9$ Verdadero

$x > 9$ Falso

Paso 6

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$2 < x < 4$ o $7 < x < 9$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$2 < x < 4 or 7 < x < 9$

Notación de intervalo:

$(2, 4) \cup (7, 9)$

Paso 8