Precálculo Ejemplos

$9^{x^{2}} \cdot 3^{7 x} = 81$

Paso 1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

${(3^{2})}^{x^{2}} \cdot 3^{7 x} = 81$

Paso 2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{2 x^{2}} \cdot 3^{7 x} = 81$

Paso 3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3^{2 x^{2} + 7 x} = 81$

Paso 4

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$3^{2 x^{2} + 7 x} = 3^{4}$

Paso 5

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$2 x^{2} + 7 x = 4$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} + 7 x - 4 = 0$

Paso 6.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 6.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 4 = - 8$ y cuya suma es $b = 7$ .

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Paso 6.2.1.1

Factoriza $7$ de $7 x$ .

$2 x^{2} + 7 (x) - 4 = 0$

Paso 6.2.1.2

Reescribe $7$ como $- 1$ más $8$

$2 x^{2} + (- 1 + 8) x - 4 = 0$

Paso 6.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x^{2} - 1 x + 8 x - 4 = 0$

Paso 6.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 6.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(2 x^{2} - 1 x) + 8 x - 4 = 0$

Paso 6.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (2 x - 1) + 4 (2 x - 1) = 0$

Paso 6.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) (x + 4) = 0$

Paso 6.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Paso 6.4

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.4.1

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Paso 6.4.2

Resuelve $2 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.4.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 1$

Paso 6.4.2.2

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.4.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 6.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 6.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Paso 6.5

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.5.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 6.5.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 6.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 x - 1) (x + 4) = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{2}, - 4$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{1}{2}, - 4$

Forma decimal:

$x = 0.5, - 4$