Precálculo Ejemplos

$e^{x} - 20 e^{- x} - 1 = 0$

Paso 1

Reescribe $e^{- x}$ como exponenciación.

$e^{x} - 20 {(e^{x})}^{- 1} - 1 = 0$

Paso 2

Sustituye $u$ por $e^{x}$ .

$u - 20 u^{- 1} - 1 = 0$

Paso 3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u - 20 \frac{1}{u} - 1 = 0$

Paso 3.2

Combina $- 20$ y $\frac{1}{u}$ .

$u + \frac{- 20}{u} - 1 = 0$

Paso 3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u - \frac{20}{u} - 1 = 0$

Paso 4

Resuelve $u$

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Paso 4.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 4.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, u, 1, 1$

Paso 4.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$u$

Paso 4.2

Multiplica cada término en $u - \frac{20}{u} - 1 = 0$ por $u$ para eliminar las fracciones.

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Paso 4.2.1

Multiplica cada término en $u - \frac{20}{u} - 1 = 0$ por $u$ .

$u \cdot u - \frac{20}{u} u - u = 0 u$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Multiplica $u$ por $u$ .

$u^{2} - \frac{20}{u} u - u = 0 u$

Paso 4.2.2.1.2

Cancela el factor común de $u$ .

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Paso 4.2.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{20}{u}$ al numerador.

$u^{2} + \frac{- 20}{u} u - u = 0 u$

Paso 4.2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$u^{2} + \frac{- 20}{u} u - u = 0 u$

Paso 4.2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$u^{2} - 20 - u = 0 u$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.1

Multiplica $0$ por $u$ .

$u^{2} - 20 - u = 0$

Paso 4.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.3.1

Factoriza $u^{2} - 20 - u$ con el método AC.

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Paso 4.3.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 20$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 5, 4$

Paso 4.3.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 5) (u + 4) = 0$

Paso 4.3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 5 = 0$

$u + 4 = 0$

Paso 4.3.3

Establece $u - 5$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 4.3.3.1

Establece $u - 5$ igual a $0$ .

$u - 5 = 0$

Paso 4.3.3.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 5$

Paso 4.3.4

Establece $u + 4$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 4.3.4.1

Establece $u + 4$ igual a $0$ .

$u + 4 = 0$

Paso 4.3.4.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 4$

Paso 4.3.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(u - 5) (u + 4) = 0$ verdadera.

$u = 5, - 4$

Paso 5

Sustituye $5$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$5 = e^{x}$

Paso 6

Resuelve $5 = e^{x}$ .

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = 5$ .

$e^{x} = 5$

Paso 6.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (5)$

Paso 6.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 6.3.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (5)$

Paso 6.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (5)$

Paso 6.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (5)$

Paso 7

Sustituye $- 4$ por $u$ en $u = e^{x}$ .

$- 4 = e^{x}$

Paso 8

Resuelve $- 4 = e^{x}$ .

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Paso 8.1

Reescribe la ecuación como $e^{x} = - 4$ .

$e^{x} = - 4$

Paso 8.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 4)$

Paso 8.3

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (- 4)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 8.4

No hay soluciones para $e^{x} = - 4$

No hay solución

Paso 9

Enumera las soluciones que hacen que la ecuación sea verdadera.

$x = \ln (5)$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \ln (5)$

Forma decimal:

$x = 1.60943791 \dots$