Precálculo Ejemplos

$\sqrt{5 x + 11} - \sqrt{3 x + 10} = 1$

Paso 1

Suma $\sqrt{3 x + 10}$ a ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{5 x + 11} = 1 + \sqrt{3 x + 10}$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{5 x + 11}}^{2} = {(1 + \sqrt{3 x + 10})}^{2}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5 x + 11}$ como ${(5 x + 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(5 x + 11)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{3 x + 10})}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${({(5 x + 11)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(5 x + 11)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 x + 11)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{3 x + 10})}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(5 x + 11)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{3 x + 10})}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(5 x + 11)}^{1} = {(1 + \sqrt{3 x + 10})}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Simplifica.

$5 x + 11 = {(1 + \sqrt{3 x + 10})}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${(1 + \sqrt{3 x + 10})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe ${(1 + \sqrt{3 x + 10})}^{2}$ como $(1 + \sqrt{3 x + 10}) (1 + \sqrt{3 x + 10})$ .

$5 x + 11 = (1 + \sqrt{3 x + 10}) (1 + \sqrt{3 x + 10})$

Paso 3.3.1.2

Expande $(1 + \sqrt{3 x + 10}) (1 + \sqrt{3 x + 10})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x + 11 = 1 (1 + \sqrt{3 x + 10}) + \sqrt{3 x + 10} (1 + \sqrt{3 x + 10})$

Paso 3.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x + 11 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3 x + 10} + \sqrt{3 x + 10} (1 + \sqrt{3 x + 10})$

Paso 3.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x + 11 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3 x + 10} + \sqrt{3 x + 10} \cdot 1 + \sqrt{3 x + 10} \sqrt{3 x + 10}$

Paso 3.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.3.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$5 x + 11 = 1 + 1 \sqrt{3 x + 10} + \sqrt{3 x + 10} \cdot 1 + \sqrt{3 x + 10} \sqrt{3 x + 10}$

Paso 3.3.1.3.1.2

Multiplica $\sqrt{3 x + 10}$ por $1$ .

$5 x + 11 = 1 + \sqrt{3 x + 10} + \sqrt{3 x + 10} \cdot 1 + \sqrt{3 x + 10} \sqrt{3 x + 10}$

Paso 3.3.1.3.1.3

Multiplica $\sqrt{3 x + 10}$ por $1$ .

$5 x + 11 = 1 + \sqrt{3 x + 10} + \sqrt{3 x + 10} + \sqrt{3 x + 10} \sqrt{3 x + 10}$

Paso 3.3.1.3.1.4

Multiplica $\sqrt{3 x + 10} \sqrt{3 x + 10}$ .

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Paso 3.3.1.3.1.4.1

Eleva $\sqrt{3 x + 10}$ a la potencia de $1$ .

$5 x + 11 = 1 + \sqrt{3 x + 10} + \sqrt{3 x + 10} + {\sqrt{3 x + 10}}^{1} \sqrt{3 x + 10}$

Paso 3.3.1.3.1.4.2

Eleva $\sqrt{3 x + 10}$ a la potencia de $1$ .

$5 x + 11 = 1 + \sqrt{3 x + 10} + \sqrt{3 x + 10} + {\sqrt{3 x + 10}}^{1} {\sqrt{3 x + 10}}^{1}$

Paso 3.3.1.3.1.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 x + 11 = 1 + \sqrt{3 x + 10} + \sqrt{3 x + 10} + {\sqrt{3 x + 10}}^{1 + 1}$

Paso 3.3.1.3.1.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$5 x + 11 = 1 + \sqrt{3 x + 10} + \sqrt{3 x + 10} + {\sqrt{3 x + 10}}^{2}$

Paso 3.3.1.3.1.5

Reescribe ${\sqrt{3 x + 10}}^{2}$ como $3 x + 10$ .

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Paso 3.3.1.3.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 x + 10}$ como ${(3 x + 10)}^{\frac{1}{2}}$ .

$5 x + 11 = 1 + \sqrt{3 x + 10} + \sqrt{3 x + 10} + {({(3 x + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 3.3.1.3.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 x + 11 = 1 + \sqrt{3 x + 10} + \sqrt{3 x + 10} + {(3 x + 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 3.3.1.3.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$5 x + 11 = 1 + \sqrt{3 x + 10} + \sqrt{3 x + 10} + {(3 x + 10)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 3.3.1.3.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.3.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$5 x + 11 = 1 + \sqrt{3 x + 10} + \sqrt{3 x + 10} + {(3 x + 10)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 3.3.1.3.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$5 x + 11 = 1 + \sqrt{3 x + 10} + \sqrt{3 x + 10} + {(3 x + 10)}^{1}$

Paso 3.3.1.3.1.5.5

Simplifica.

$5 x + 11 = 1 + \sqrt{3 x + 10} + \sqrt{3 x + 10} + 3 x + 10$

Paso 3.3.1.3.2

Suma $1$ y $10$ .

$5 x + 11 = 11 + \sqrt{3 x + 10} + \sqrt{3 x + 10} + 3 x$

Paso 3.3.1.3.3

Suma $\sqrt{3 x + 10}$ y $\sqrt{3 x + 10}$ .

$5 x + 11 = 11 + 2 \sqrt{3 x + 10} + 3 x$

Paso 4

Resuelve $2 \sqrt{3 x + 10}$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $11 + 2 \sqrt{3 x + 10} + 3 x = 5 x + 11$ .

$11 + 2 \sqrt{3 x + 10} + 3 x = 5 x + 11$

Paso 4.2

Mueve todos los términos que no contengan $2 \sqrt{3 x + 10}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Resta $11$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \sqrt{3 x + 10} + 3 x = 5 x + 11 - 11$

Paso 4.2.2

Resta $3 x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \sqrt{3 x + 10} = 5 x + 11 - 11 - 3 x$

Paso 4.2.3

Combina los términos opuestos en $5 x + 11 - 11 - 3 x$ .

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Paso 4.2.3.1

Resta $11$ de $11$ .

$2 \sqrt{3 x + 10} = 5 x + 0 - 3 x$

Paso 4.2.3.2

Suma $5 x$ y $0$ .

$2 \sqrt{3 x + 10} = 5 x - 3 x$

Paso 4.2.4

Resta $3 x$ de $5 x$ .

$2 \sqrt{3 x + 10} = 2 x$

Paso 5

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(2 \sqrt{3 x + 10})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Paso 6

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 x + 10}$ como ${(3 x + 10)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(3 x + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Simplifica ${(2 {(3 x + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 {(3 x + 10)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(3 x + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Paso 6.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {({(3 x + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(3 x + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(3 x + 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Paso 6.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$4 {(3 x + 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Paso 6.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$4 {(3 x + 10)}^{1} = {(2 x)}^{2}$

Paso 6.2.1.4

Simplifica.

$4 (3 x + 10) = {(2 x)}^{2}$

Paso 6.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (3 x) + 4 \cdot 10 = {(2 x)}^{2}$

Paso 6.2.1.6

Multiplica.

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Paso 6.2.1.6.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 x + 4 \cdot 10 = {(2 x)}^{2}$

Paso 6.2.1.6.2

Multiplica $4$ por $10$ .

$12 x + 40 = {(2 x)}^{2}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Simplifica ${(2 x)}^{2}$ .

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Paso 6.3.1.1

Aplica la regla del producto a $2 x$ .

$12 x + 40 = 2^{2} x^{2}$

Paso 6.3.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$12 x + 40 = 4 x^{2}$

Paso 7

Resuelve $x$

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Paso 7.1

Resta $4 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$12 x + 40 - 4 x^{2} = 0$

Paso 7.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 7.2.1

Factoriza $- 4$ de $12 x + 40 - 4 x^{2}$ .

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Paso 7.2.1.1

Reordena la expresión.

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Paso 7.2.1.1.1

Mueve $40$ .

$12 x - 4 x^{2} + 40 = 0$

Paso 7.2.1.1.2

Reordena $12 x$ y $- 4 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} + 12 x + 40 = 0$

Paso 7.2.1.2

Factoriza $- 4$ de $- 4 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} + 12 x + 40 = 0$

Paso 7.2.1.3

Factoriza $- 4$ de $12 x$ .

$- 4 x^{2} - 4 (- 3 x) + 40 = 0$

Paso 7.2.1.4

Factoriza $- 4$ de $40$ .

$- 4 x^{2} - 4 (- 3 x) - 4 \cdot - 10 = 0$

Paso 7.2.1.5

Factoriza $- 4$ de $- 4 (x^{2}) - 4 (- 3 x)$ .

$- 4 (x^{2} - 3 x) - 4 \cdot - 10 = 0$

Paso 7.2.1.6

Factoriza $- 4$ de $- 4 (x^{2} - 3 x) - 4 (- 10)$ .

$- 4 (x^{2} - 3 x - 10) = 0$

Paso 7.2.2

Factoriza.

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Paso 7.2.2.1

Factoriza $x^{2} - 3 x - 10$ con el método AC.

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Paso 7.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 10$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 5, 2$

Paso 7.2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- 4 ((x - 5) (x + 2)) = 0$

Paso 7.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 4 (x - 5) (x + 2) = 0$

Paso 7.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 7.4

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.4.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 7.4.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 7.5

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.5.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 7.5.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 7.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 4 (x - 5) (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = 5, - 2$

Paso 8

Excluye las soluciones que no hagan que $\sqrt{5 x + 11} - \sqrt{3 x + 10} = 1$ sea verdadera.

$x = 5$