Precálculo Ejemplos

$\sec^{2} (x) - 2 \tan (x) = 4$

Paso 1

Reemplaza $\sec^{2} (x)$ con $1 + \tan^{2} (x)$ según la identidad de $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(1 + \tan^{2} (x)) - 2 \tan (x) = 4$

Paso 2

Reordena el polinomio.

$\tan^{2} (x) - 2 \tan (x) + 1 = 4$

Paso 3

Sustituye $u$ por $\tan (x)$ .

${(u)}^{2} - 2 u + 1 = 4$

Paso 4

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$u^{2} - 2 u + 1 - 4 = 0$

Paso 5

Resta $4$ de $1$ .

$u^{2} - 2 u - 3 = 0$

Paso 6

Factoriza $u^{2} - 2 u - 3$ con el método AC.

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Paso 6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 3, 1$

Paso 6.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 3) (u + 1) = 0$

Paso 7

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 3 = 0$

$u + 1 = 0$

Paso 8

Establece $u - 3$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 8.1

Establece $u - 3$ igual a $0$ .

$u - 3 = 0$

Paso 8.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 3$

Paso 9

Establece $u + 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 9.1

Establece $u + 1$ igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Paso 9.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 1$

Paso 10

La solución final comprende todos los valores que hacen $(u - 3) (u + 1) = 0$ verdadera.

$u = 3, - 1$

Paso 11

Sustituye $\tan (x)$ por $u$ .

$\tan (x) = 3, - 1$

Paso 12

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\tan (x) = 3$

$\tan (x) = - 1$

Paso 13

Resuelve $x$ en $\tan (x) = 3$ .

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Paso 13.1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (3)$

Paso 13.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 13.2.1

Evalúa $\arctan (3)$ .

$x = 1.24904577$

Paso 13.3

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = (3.14159265) + 1.24904577$

Paso 13.4

Resuelve $x$

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Paso 13.4.1

Elimina los paréntesis.

$x = 3.14159265 + 1.24904577$

Paso 13.4.2

Elimina los paréntesis.

$x = (3.14159265) + 1.24904577$

Paso 13.4.3

Suma $3.14159265$ y $1.24904577$ .

$x = 4.39063842$

Paso 13.5

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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Paso 13.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 13.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 13.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 13.5.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 13.6

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 1.24904577 + π n, 4.39063842 + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 14

Resuelve $x$ en $\tan (x) = - 1$ .

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Paso 14.1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Paso 14.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 14.2.1

El valor exacto de $\arctan (- 1)$ es $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Paso 14.3

La función tangente es negativa en el segundo y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Paso 14.4

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 14.4.1

Suma $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Paso 14.4.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{4}$ es positivo y coterminal con $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 14.5

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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Paso 14.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 14.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 14.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 14.5.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 14.6

Suma $π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 14.6.1

Suma $π$ y $- \frac{π}{4}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Paso 14.6.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 14.6.3

Combina fracciones.

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Paso 14.6.3.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 14.6.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Paso 14.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 14.6.4.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Paso 14.6.4.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Paso 14.6.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 14.7

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 15

Enumera todas las soluciones.

$x = 1.24904577 + π n, 4.39063842 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 16

Consolida las soluciones.

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Paso 16.1

Consolida $1.24904577 + π n$ y $4.39063842 + π n$ en $1.24904577 + π n$ .

$x = 1.24904577 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 16.2

Consolida $\frac{3 π}{4} + π n$ y $\frac{3 π}{4} + π n$ en $\frac{3 π}{4} + π n$ .

$x = 1.24904577 + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$