Precálculo Ejemplos

$3 \cos (2 x) - 5 \cos (x) = 1$

Paso 1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$3 \cos (2 x) - 5 \cos (x) - 1 = 0$

Paso 2

Simplifica el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$3 (2 \cos^{2} (x) - 1) - 5 \cos (x) - 1 = 0$

Paso 2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (2 \cos^{2} (x)) + 3 \cdot - 1 - 5 \cos (x) - 1 = 0$

Paso 2.1.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 \cos^{2} (x) + 3 \cdot - 1 - 5 \cos (x) - 1 = 0$

Paso 2.1.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$6 \cos^{2} (x) - 3 - 5 \cos (x) - 1 = 0$

Paso 2.2

Resta $1$ de $- 3$ .

$6 \cos^{2} (x) - 4 - 5 \cos (x) = 0$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Reordena los términos.

$6 \cos^{2} (x) - 5 \cos (x) - 4 = 0$

Paso 3.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 6 \cdot - 4 = - 24$ y cuya suma es $b = - 5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Factoriza $- 5$ de $- 5 \cos (x)$ .

$6 \cos^{2} (x) - 5 \cos (x) - 4 = 0$

Paso 3.2.2

Reescribe $- 5$ como $3$ más $- 8$

$6 \cos^{2} (x) + (3 - 8) \cos (x) - 4 = 0$

Paso 3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$6 \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) - 8 \cos (x) - 4 = 0$

Paso 3.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$6 \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) - 8 \cos (x) - 4 = 0$

Paso 3.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$3 \cos (x) (2 \cos (x) + 1) - 4 (2 \cos (x) + 1) = 0$

Paso 3.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 \cos (x) + 1$ .

$(2 \cos (x) + 1) (3 \cos (x) - 4) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

$3 \cos (x) - 4 = 0$

Paso 5

Establece $2 \cos (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Establece $2 \cos (x) + 1$ igual a $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $2 \cos (x) + 1 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \cos (x) = - 1$

Paso 5.2.2

Divide cada término en $2 \cos (x) = - 1$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Divide cada término en $2 \cos (x) = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 5.2.2.2.1.2

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Paso 5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Paso 5.2.4

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.4.1

El valor exacto de $\arccos (- \frac{1}{2})$ es $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Paso 5.2.5

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Paso 5.2.6

Simplifica $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.6.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Paso 5.2.6.2

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.6.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Paso 5.2.6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Paso 5.2.6.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.6.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Paso 5.2.6.3.2

Resta $2 π$ de $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Paso 5.2.7

Obtén el período de $\cos (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 5.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 5.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 5.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 5.2.8

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6

Establece $3 \cos (x) - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Establece $3 \cos (x) - 4$ igual a $0$ .

$3 \cos (x) - 4 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $3 \cos (x) - 4 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$3 \cos (x) = 4$

Paso 6.2.2

Divide cada término en $3 \cos (x) = 4$ por $3$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Divide cada término en $3 \cos (x) = 4$ por $3$ .

$\frac{3 \cos (x)}{3} = \frac{4}{3}$

Paso 6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cos (x)}{3} = \frac{4}{3}$

Paso 6.2.2.2.1.2

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{4}{3}$

Paso 6.2.3

El rango del coseno es $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $\frac{4}{3}$ no está dentro de este rango, no hay solución.

No hay solución

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 \cos (x) + 1) (3 \cos (x) - 4) = 0$ verdadera.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$