Precálculo Ejemplos

$2 \sqrt{x + 1} - \sqrt{2 x + 3} = 1$

Paso 1

Suma $\sqrt{2 x + 3}$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \sqrt{x + 1} = 1 + \sqrt{2 x + 3}$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(2 \sqrt{x + 1})}^{2} = {(1 + \sqrt{2 x + 3})}^{2}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{2 x + 3})}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${(2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{2 x + 3})}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{2 x + 3})}^{2}$

Paso 3.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{2 x + 3})}^{2}$

Paso 3.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{2 x + 3})}^{2}$

Paso 3.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$4 {(x + 1)}^{1} = {(1 + \sqrt{2 x + 3})}^{2}$

Paso 3.2.1.4

Simplifica.

$4 (x + 1) = {(1 + \sqrt{2 x + 3})}^{2}$

Paso 3.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x + 4 \cdot 1 = {(1 + \sqrt{2 x + 3})}^{2}$

Paso 3.2.1.6

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 x + 4 = {(1 + \sqrt{2 x + 3})}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${(1 + \sqrt{2 x + 3})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe ${(1 + \sqrt{2 x + 3})}^{2}$ como $(1 + \sqrt{2 x + 3}) (1 + \sqrt{2 x + 3})$ .

$4 x + 4 = (1 + \sqrt{2 x + 3}) (1 + \sqrt{2 x + 3})$

Paso 3.3.1.2

Expande $(1 + \sqrt{2 x + 3}) (1 + \sqrt{2 x + 3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x + 4 = 1 (1 + \sqrt{2 x + 3}) + \sqrt{2 x + 3} (1 + \sqrt{2 x + 3})$

Paso 3.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x + 4 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} (1 + \sqrt{2 x + 3})$

Paso 3.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x + 4 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} \cdot 1 + \sqrt{2 x + 3} \sqrt{2 x + 3}$

Paso 3.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.3.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$4 x + 4 = 1 + 1 \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} \cdot 1 + \sqrt{2 x + 3} \sqrt{2 x + 3}$

Paso 3.3.1.3.1.2

Multiplica $\sqrt{2 x + 3}$ por $1$ .

$4 x + 4 = 1 + \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} \cdot 1 + \sqrt{2 x + 3} \sqrt{2 x + 3}$

Paso 3.3.1.3.1.3

Multiplica $\sqrt{2 x + 3}$ por $1$ .

$4 x + 4 = 1 + \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} \sqrt{2 x + 3}$

Paso 3.3.1.3.1.4

Multiplica $\sqrt{2 x + 3} \sqrt{2 x + 3}$ .

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Paso 3.3.1.3.1.4.1

Eleva $\sqrt{2 x + 3}$ a la potencia de $1$ .

$4 x + 4 = 1 + \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} + {\sqrt{2 x + 3}}^{1} \sqrt{2 x + 3}$

Paso 3.3.1.3.1.4.2

Eleva $\sqrt{2 x + 3}$ a la potencia de $1$ .

$4 x + 4 = 1 + \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} + {\sqrt{2 x + 3}}^{1} {\sqrt{2 x + 3}}^{1}$

Paso 3.3.1.3.1.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 x + 4 = 1 + \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} + {\sqrt{2 x + 3}}^{1 + 1}$

Paso 3.3.1.3.1.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$4 x + 4 = 1 + \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} + {\sqrt{2 x + 3}}^{2}$

Paso 3.3.1.3.1.5

Reescribe ${\sqrt{2 x + 3}}^{2}$ como $2 x + 3$ .

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Paso 3.3.1.3.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 x + 3}$ como ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 x + 4 = 1 + \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} + {({(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 3.3.1.3.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x + 4 = 1 + \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} + {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 3.3.1.3.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$4 x + 4 = 1 + \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} + {(2 x + 3)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 3.3.1.3.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.3.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$4 x + 4 = 1 + \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} + {(2 x + 3)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 3.3.1.3.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$4 x + 4 = 1 + \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} + {(2 x + 3)}^{1}$

Paso 3.3.1.3.1.5.5

Simplifica.

$4 x + 4 = 1 + \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} + 2 x + 3$

Paso 3.3.1.3.2

Suma $1$ y $3$ .

$4 x + 4 = 4 + \sqrt{2 x + 3} + \sqrt{2 x + 3} + 2 x$

Paso 3.3.1.3.3

Suma $\sqrt{2 x + 3}$ y $\sqrt{2 x + 3}$ .

$4 x + 4 = 4 + 2 \sqrt{2 x + 3} + 2 x$

Paso 4

Resuelve $2 \sqrt{2 x + 3}$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $4 + 2 \sqrt{2 x + 3} + 2 x = 4 x + 4$ .

$4 + 2 \sqrt{2 x + 3} + 2 x = 4 x + 4$

Paso 4.2

Mueve todos los términos que no contengan $2 \sqrt{2 x + 3}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \sqrt{2 x + 3} + 2 x = 4 x + 4 - 4$

Paso 4.2.2

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \sqrt{2 x + 3} = 4 x + 4 - 4 - 2 x$

Paso 4.2.3

Combina los términos opuestos en $4 x + 4 - 4 - 2 x$ .

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Paso 4.2.3.1

Resta $4$ de $4$ .

$2 \sqrt{2 x + 3} = 4 x + 0 - 2 x$

Paso 4.2.3.2

Suma $4 x$ y $0$ .

$2 \sqrt{2 x + 3} = 4 x - 2 x$

Paso 4.2.4

Resta $2 x$ de $4 x$ .

$2 \sqrt{2 x + 3} = 2 x$

Paso 5

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(2 \sqrt{2 x + 3})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Paso 6

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 x + 3}$ como ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Simplifica ${(2 {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Paso 6.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {({(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Paso 6.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$4 {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Paso 6.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$4 {(2 x + 3)}^{1} = {(2 x)}^{2}$

Paso 6.2.1.4

Simplifica.

$4 (2 x + 3) = {(2 x)}^{2}$

Paso 6.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (2 x) + 4 \cdot 3 = {(2 x)}^{2}$

Paso 6.2.1.6

Multiplica.

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Paso 6.2.1.6.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 x + 4 \cdot 3 = {(2 x)}^{2}$

Paso 6.2.1.6.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$8 x + 12 = {(2 x)}^{2}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Simplifica ${(2 x)}^{2}$ .

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Paso 6.3.1.1

Aplica la regla del producto a $2 x$ .

$8 x + 12 = 2^{2} x^{2}$

Paso 6.3.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$8 x + 12 = 4 x^{2}$

Paso 7

Resuelve $x$

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Paso 7.1

Resta $4 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$8 x + 12 - 4 x^{2} = 0$

Paso 7.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 7.2.1

Factoriza $- 4$ de $8 x + 12 - 4 x^{2}$ .

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Paso 7.2.1.1

Reordena la expresión.

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Paso 7.2.1.1.1

Mueve $12$ .

$8 x - 4 x^{2} + 12 = 0$

Paso 7.2.1.1.2

Reordena $8 x$ y $- 4 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} + 8 x + 12 = 0$

Paso 7.2.1.2

Factoriza $- 4$ de $- 4 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} + 8 x + 12 = 0$

Paso 7.2.1.3

Factoriza $- 4$ de $8 x$ .

$- 4 x^{2} - 4 (- 2 x) + 12 = 0$

Paso 7.2.1.4

Factoriza $- 4$ de $12$ .

$- 4 x^{2} - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 3 = 0$

Paso 7.2.1.5

Factoriza $- 4$ de $- 4 (x^{2}) - 4 (- 2 x)$ .

$- 4 (x^{2} - 2 x) - 4 \cdot - 3 = 0$

Paso 7.2.1.6

Factoriza $- 4$ de $- 4 (x^{2} - 2 x) - 4 (- 3)$ .

$- 4 (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Paso 7.2.2

Factoriza.

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Paso 7.2.2.1

Factoriza $x^{2} - 2 x - 3$ con el método AC.

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Paso 7.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 3, 1$

Paso 7.2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- 4 ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Paso 7.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 4 (x - 3) (x + 1) = 0$

Paso 7.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 7.4

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.4.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 7.4.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 7.5

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.5.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 7.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 7.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 4 (x - 3) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 3, - 1$

Paso 8

Excluye las soluciones que no hagan que $2 \sqrt{x + 1} - \sqrt{2 x + 3} = 1$ sea verdadera.

$x = 3$