Precálculo Ejemplos

$\csc^{2} (x) = 6 \cot (x) + 8$

Paso 1

Reemplaza $\csc^{2} (x)$ con $\cot^{2} (x) + 1$ según la identidad de $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$\cot^{2} (x) + 1 = 6 \cot (x) + 8$

Paso 2

Sustituye $u$ por $\cot (x)$ .

${(u)}^{2} + 1 = 6 (u) + 8$

Paso 3

Resta $6 u$ de ambos lados de la ecuación.

$u^{2} + 1 - 6 u = 8$

Paso 4

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$u^{2} + 1 - 6 u - 8 = 0$

Paso 5

Resta $8$ de $1$ .

$u^{2} - 6 u - 7 = 0$

Paso 6

Factoriza $u^{2} - 6 u - 7$ con el método AC.

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Paso 6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 7$ y cuya suma es $- 6$ .

$- 7, 1$

Paso 6.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 7) (u + 1) = 0$

Paso 7

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 7 = 0$

$u + 1 = 0$

Paso 8

Establece $u - 7$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 8.1

Establece $u - 7$ igual a $0$ .

$u - 7 = 0$

Paso 8.2

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 7$

Paso 9

Establece $u + 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 9.1

Establece $u + 1$ igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Paso 9.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 1$

Paso 10

La solución final comprende todos los valores que hacen $(u - 7) (u + 1) = 0$ verdadera.

$u = 7, - 1$

Paso 11

Sustituye $\cot (x)$ por $u$ .

$\cot (x) = 7, - 1$

Paso 12

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\cot (x) = 7$

$\cot (x) = - 1$

Paso 13

Resuelve $x$ en $\cot (x) = 7$ .

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Paso 13.1

Resta la inversa de la cotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cotangente.

$x = arccot (7)$

Paso 13.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 13.2.1

Evalúa $arccot (7)$ .

$x = 0.14189705$

Paso 13.3

La función cotangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = (3.14159265) + 0.14189705$

Paso 13.4

Resuelve $x$

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Paso 13.4.1

Elimina los paréntesis.

$x = 3.14159265 + 0.14189705$

Paso 13.4.2

Elimina los paréntesis.

$x = (3.14159265) + 0.14189705$

Paso 13.4.3

Suma $3.14159265$ y $0.14189705$ .

$x = 3.2834897$

Paso 13.5

Obtén el período de $\cot (x)$ .

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Paso 13.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 13.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 13.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 13.5.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 13.6

El período de la función $\cot (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 0.14189705 + π n, 3.2834897 + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 14

Resuelve $x$ en $\cot (x) = - 1$ .

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Paso 14.1

Resta la inversa de la cotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cotangente.

$x = arccot (- 1)$

Paso 14.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 14.2.1

El valor exacto de $arccot (- 1)$ es $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 14.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{3 π}{4} - π$

Paso 14.4

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 14.4.1

Suma $2 π$ a $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

Paso 14.4.2

El ángulo resultante de $\frac{7 π}{4}$ es positivo y coterminal con $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Paso 14.5

Obtén el período de $\cot (x)$ .

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Paso 14.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 14.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 14.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 14.5.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 14.6

El período de la función $\cot (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 15

Enumera todas las soluciones.

$x = 0.14189705 + π n, 3.2834897 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 16

Consolida las soluciones.

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Paso 16.1

Consolida $0.14189705 + π n$ y $3.2834897 + π n$ en $0.14189705 + π n$ .

$x = 0.14189705 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 16.2

Consolida $\frac{3 π}{4} + π n$ y $\frac{7 π}{4} + π n$ en $\frac{3 π}{4} + π n$ .

$x = 0.14189705 + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$