Precálculo Ejemplos

$(2 \cos (x) - 1) (\sin (x) - 1) = 0$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Expande $(2 \cos (x) - 1) (\sin (x) - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cos (x) (\sin (x) - 1) - 1 (\sin (x) - 1) = 0$

Paso 1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (\sin (x) - 1) = 0$

Paso 1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Paso 1.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x) - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Paso 1.2.2

Reescribe $- 1 \sin (x)$ como $- \sin (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x) - \sin (x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Paso 1.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x) - \sin (x) + 1 = 0$

Paso 2

Factoriza $2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x) - \sin (x) + 1$ .

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Paso 2.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x) - \sin (x) + 1 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 \cos (x) (\sin (x) - 1) - (\sin (x) - 1) = 0$

Paso 2.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $\sin (x) - 1$ .

$(\sin (x) - 1) (2 \cos (x) - 1) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sin (x) - 1 = 0$

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Paso 4

Establece $\sin (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $\sin (x) - 1$ igual a $0$ .

$\sin (x) - 1 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $\sin (x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\sin (x) = 1$

Paso 4.2.2

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (1)$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.1

El valor exacto de $\arcsin (1)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 4.2.4

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Paso 4.2.5

Simplifica $π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 4.2.5.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 4.2.5.2

Combina fracciones.

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Paso 4.2.5.2.1

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 4.2.5.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 4.2.5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.5.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Paso 4.2.5.3.2

Resta $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 4.2.6

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 4.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 4.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 4.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 4.2.6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 4.2.7

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5

Establece $2 \cos (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $2 \cos (x) - 1$ igual a $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $2 \cos (x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \cos (x) = 1$

Paso 5.2.2

Divide cada término en $2 \cos (x) = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Divide cada término en $2 \cos (x) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 5.2.2.2.1.2

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Paso 5.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.4.1

El valor exacto de $\arccos (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Paso 5.2.5

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Paso 5.2.6

Simplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Paso 5.2.6.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 5.2.6.2

Combina fracciones.

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Paso 5.2.6.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 5.2.6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 5.2.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.6.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Paso 5.2.6.3.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Paso 5.2.7

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 5.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 5.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 5.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 5.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 5.2.8

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(\sin (x) - 1) (2 \cos (x) - 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$