Precálculo Ejemplos

$(\tan (x) - 1) (\sec (x) - 1) = 0$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Expande $(\tan (x) - 1) (\sec (x) - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\tan (x) (\sec (x) - 1) - 1 (\sec (x) - 1) = 0$

Paso 1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\tan (x) \sec (x) + \tan (x) \cdot - 1 - 1 (\sec (x) - 1) = 0$

Paso 1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\tan (x) \sec (x) + \tan (x) \cdot - 1 - 1 \sec (x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Paso 1.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $\tan (x)$ .

$\tan (x) \sec (x) - 1 \cdot \tan (x) - 1 \sec (x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Paso 1.2.2

Reescribe $- 1 \tan (x)$ como $- \tan (x)$ .

$\tan (x) \sec (x) - \tan (x) - 1 \sec (x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Paso 1.2.3

Reescribe $- 1 \sec (x)$ como $- \sec (x)$ .

$\tan (x) \sec (x) - \tan (x) - \sec (x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Paso 1.2.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\tan (x) \sec (x) - \tan (x) - \sec (x) + 1 = 0$

Paso 2

Factoriza $\tan (x) \sec (x) - \tan (x) - \sec (x) + 1$ .

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Paso 2.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\tan (x) \sec (x) - \tan (x) - \sec (x) + 1 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\tan (x) (\sec (x) - 1) - (\sec (x) - 1) = 0$

Paso 2.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $\sec (x) - 1$ .

$(\sec (x) - 1) (\tan (x) - 1) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sec (x) - 1 = 0$

$\tan (x) - 1 = 0$

Paso 4

Establece $\sec (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $\sec (x) - 1$ igual a $0$ .

$\sec (x) - 1 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $\sec (x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\sec (x) = 1$

Paso 4.2.2

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la secante.

$x = arcsec (1)$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.1

El valor exacto de $arcsec (1)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 4.2.4

La secante es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - 0$

Paso 4.2.5

Resta $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Paso 4.2.6

Obtén el período de $\sec (x)$ .

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Paso 4.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 4.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 4.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 4.2.6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 4.2.7

El período de la función $\sec (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5

Establece $\tan (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $\tan (x) - 1$ igual a $0$ .

$\tan (x) - 1 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $\tan (x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\tan (x) = 1$

Paso 5.2.2

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (1)$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Paso 5.2.4

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Paso 5.2.5

Simplifica $π + \frac{π}{4}$ .

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Paso 5.2.5.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 5.2.5.2

Combina fracciones.

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Paso 5.2.5.2.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 5.2.5.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Paso 5.2.5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.5.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Paso 5.2.5.3.2

Suma $4 π$ y $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Paso 5.2.6

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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Paso 5.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 5.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 5.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 5.2.6.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 5.2.7

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(\sec (x) - 1) (\tan (x) - 1) = 0$ verdadera.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

Consolida las respuestas.

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Paso 7.1

Consolida $2 π n$ y $2 π + 2 π n$ en $2 π n$ .

$x = 2 π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7.2

Consolida $\frac{π}{4} + π n$ y $\frac{5 π}{4} + π n$ en $\frac{π}{4} + π n$ .

$x = 2 π n, \frac{π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$